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离散数学期末试题

第一篇：离散数学期末试题离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）求(PQ)(P∧(Q∨R))的主析取范式解：(PQ)(P∧(Q∨R))((P∨Q))∨(P∧Q∧R))(P∨Q)∨(P∧Q∧R))(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M0∧M1m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人。乙说：王教授不是上海人，是苏州人。丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有：甲：P∧Q乙：Q∧P丙：Q∧R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有Q∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：((P∧Q)∧((Q∧R)∨(Q∧R)))∨((Q∧P)∧(Q∧R))(P∧Q∧Q∧R)∨(P∧Q∧Q∧R)∨(Q∧P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)P∧Q∧RT因此，王教授是上海人。三、（10分）证明tsr(R)是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。证明设R是非空集合A上的二元关系，则tsr(R)是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的关系。若R是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r(R)R。则''sr(R)s(R)＝R，进而有tsr(R)t(R)＝R。综上可知，tsr(R)是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。四、（15分）集合A＝{a，b，c，d，e}上的二元关系R为R＝{，，，，，，，，，，，，，}，(1)写出R的关系矩阵。(2)判断R是不是偏序关系，为什么？解(1)R的关系矩阵为：''''10M(R)00011111101010100110001(2)由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R是自反的；rij＋rji≤1，故R是反对称的；可计算对应的关系矩阵为：10M(R2)000由以上矩阵可知R是传递的。111111010101M(R)00110001五、（10分）设A、B、C和D为任意集合，证明(A－B)×C＝(A×C)－(B×C)。证明：因为∈(A－B)×Cx∈(A－B)∧y∈C(x∈A∧xB)∧y∈C(x∈A∧y∈C∧xB)∨(x∈A∧y∈C∧yC)(x∈A∧y∈C)∧(xB∨yC)(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈C)∈(A×C)∧(B×C)∈(A×C)－(B×C)所以，(A－B)×C＝(A×C－B×C)。六、（10分）设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h。解因IA恒等函数，由hgf＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fhg＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gfh＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。由hgf＝IA，得f＝hg；由fhg＝IB，得g＝fh；由gfh＝IC，得h＝gf。－1－1－1－1－1－1七、（15分）设是一代数系统，运算*满足交换律和结合律，且a*x＝a*yx＝y，证明：若G有限，则G是一群。证明因G有限，不妨设G＝{a1，a2，…，an}。由a*x＝a*yx＝y得，若x≠y，则a*x≠a*y。于是可证，对任意的a∈G，有aG＝G。又因为运算*满足交换律，所以aG＝G＝Ga。令e∈G使得a*e＝a。对任意的b∈G，令c*a＝b，则b*e＝(c*a)*e＝c*(a*e)＝c*a＝b，再由运算*满足交换律得e*b＝b，所以e是关于运算*的幺元。对任意a∈G，由aG＝G可知，存在b∈G使得a*b＝e，再由运算*满足交换律得b*a＝e，所以b是a的逆元。由a的任意性知，G中每个元素都存在逆元。故G是一群。八、（20分）（1）证明在n个结点的连通图G中，至少有n－1条边。证明不妨设G是无向连通图（若G为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图）。设G中结点为v1、v2、…、vn。由连通性，必存在与v1相邻的结点，不妨设它为v2（否则可重新编号），连