离散数学证明题精编.docx

离散数学证明题

第一篇：离散数学证明题离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论:⑴b≤a或c≤a⑵a≤b且a≤c如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一次插值)已知函数f(x)在区间的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=p1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点。1.插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：把此式按照yk和yk+1写成两项:记并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：从而p1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与yk、yk+1无关，而由插值结点xk、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。解:f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010则插值基函数为：于是,拉格朗日型一次插值多项式为:故:即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二次插值多项式已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式p2(x),使其满足,p2(xk-1)=yk-1,p2(xk)=yk,p2(xk+1)=yk+1.其几何意义为:已知平面上的三个点(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。1.插值基本多项式有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：(1)基本多项式为二次多项式;(2)它们的函数值满足下表：因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因为lk-1(xk-1)=1==>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=1得从而同理得基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。2.拉格朗日型二次插值多项式由前述,拉格朗日型二次插值多项式:p2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),p2(x)是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:p2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。例2已知：xi101520yi=lgxi11.17611.3010利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。解：设x0=10,x1=15,x2=20,则:故:所以7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。三、拉格朗日型n次插值多项式已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式pn(x),使其满足:pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。1.插值基函数过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数l0(x),l1(x),…,ln(X)每个插值基本多项式li(x)满足：(1)li(x)是n次多项式;(2)li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0,(k≠i)。由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子:(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:li(x)=a(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)由li(xi)=1,可以定出a,进而得到：2.n次拉格朗日型插值多项式pn(x)pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),…,ln(X)的线性组合,相应的组合系数是y0,y1,…,yn。即:pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x),从而pn(x)是一个次数不超过