积分变换讲稿(王琳)[推荐五篇].docx

积分变换讲稿(王琳)[推荐五篇]

第一篇：积分变换讲稿(王琳)傅立叶变换§1傅立叶级数与积分TT,]上满足狄氏条件，即在一个周期上满足：22（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点.设fT(t)是以T为周期的实函数，且在[a0则在连续点处，有fT(t)(anconstbnsinnt).(1)（三角形式）2n1其中2T22a0TfT(t)dt,,T2T2T22T2anTfT(t)cosntdt(n1,2,),bnTfT(t)sinntdt(n1,2,).T2T21[fT(t00)fT(t00)].2在间断点t0处，(1)式右端级数收敛于1、傅立叶级数的指数形式eieieiei,sini.所以由于cos22einteinta0einteinta0anibnintanibnintfT(t)anibnee.2n12222n12令c0a0aibnaibn,cnn,cnn,n1,2,3,,222则fT(t)ncenint.(2)容易证明cn可以合写成一个式子1T2cnTfT(t)eintdt(n0,1,2,).(3）T22、傅立叶积分任何一个非周期函数f(t),都可看成是由某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的.即limfT(t)f(t).T由公式(2)、(3)，得1T21T2intinfT(t)TfT()ede,可知f(t)limTfT()eindeint.TTTn2n2令nn,nnn1,则2,或T.Tn2intinf()edenTTn2T1T21于是f(t)limTfT()eindeintlimTTn02n21T2intin令T(n)f()ede.TT22故f(t)limn0nT(n)n.(4)1注意到当n0,即T时,T(n)(n)f()eindeint.从而2按照积分的定义，（4）可以写为f(t)()d,即f(t)12[f()eid]eitd.(5)(函数f(t)的傅氏积分公式)定理2若f(t)在(-,+)上满足条件:(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,即|f(t)|dt收敛，则（5）在f(t)的连续点成立.而在f(t)的间断点t0处,应以f(t00)f(t00)来代替.可以证明，当f(t)满足傅氏积分定理条件时，公式(5)可以写为三角形式，即[01f(t),在f(t)连续点处，f()cos(t)d]df(t0)f(t0)，其它.2(6)事实上,根据欧拉公式,有f(t)1i(t)[f()ed]d21[f()cos(t)dif()sin(t)d]d.2(7)因为f()cos(t)d和f()sin(t)d分别是的偶函数和奇函数.所以由(7),得到1f(t)[f()cos(t)d]d.(傅氏积分公式的三角形式)0§2傅立叶变换1、傅立叶变换的概念当f(t)满足一定条件时，在f(t)的连续点处有：1f(t)[f()eid]eitd.2从上式出发，设F()f(t)eitdt,(1）,则1f(t)2F()ed.it(2)称(1)式，即F()f(t)eitdt为f(t)的傅立叶变换，记为F()F[f(t)]称(2)式，即f(t)12F()eitd为傅立叶逆变换，f(t)F-1[f(t)](1)式和(2)式，定义了一个傅立叶变换对F()和f(t).也称F()为f(t)的像函数；f(t)为F()的原像函数.0,t0例1求函数f(t)t的傅氏变换及其积分表达式,其中0.e,t0这个f(t)叫做指数衰减函数,是工程中常碰到.解:根据定义,有F()f(t)eitdte