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立体几何平行证明题常见模型及方法[定稿]

第一篇：立体几何平行证明题常见模型及方法[定稿]立体几何平行证明题常见模型及方法证明空间线面平行需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。平行转化：线线平行线面平行面面平行；类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）（1）方法一：中位线法以锥体为载体例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；变式1：若点M是PC的中点，求证：PA||平面BDM；变式2：若点M是PA的中点，求证：PC||平面BDM。EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱体为载体例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D变式1在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E变式3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；方法2：构造平行四边形法例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDESA变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1E1EFEBCAD1B1方法3：面面平行法（略）举一反三1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；EACF2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。第二篇：高中立体几何中线面平行的常见方法高中立体几何证明平行的专题训练立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行，等等。(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形（第1题图）2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EAFA1DA4、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,BAAD,CDAD,CD=2AB,E为PC的中点,证明:EB//平面PAD;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA∥平面BDE7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：A