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第一章函数、极限与连续学习指导

第一篇：第一章函数、极限与连续学习指导第一章函数、极限与连续重点：极限基本理论及计算、闭区间上连续函数的性质。难点：1．计算极限技巧；2．极限的“X”，“”语言，（一）A1函数概念是高等数学的基本概念，反应了同一过程中，几个变量的联系以及依赖关系。函数定义强调了自变量x在定义D上每取一值时，函数y都有唯一确定的值与它对应，而对于对应关系的形式，定义中并无限制，因此一个函数可以用分析式子来表达，也可以用图象法和表格法来表达。在用分析式子来表达时，可用一个式子表达，也可用几个式子（即分段函数），参数式（实质是以参变量为中间变量的复合函数），隐式（即隐函数）表达。A2高等数学讨论的函数主要是初等函数。初等函数是由基本初等函数组成，因此对基本初等函数及其性质要非常熟悉，否则在研究初等函数的性质时会遇到困难。对基本初等函数以及性质的深入了解应结合函数图形进行，将函数的性质与图形的特点逐一对照，在此基础上利用图形来记忆函数的性质。A3由于极限是研究变量在无限变化过程中的趋势，因此必须从变化的、运动的角度来认识极限，在极限的描述性定义中应明确fx“无限接近于A”的含义。“fx无限接近于A”是指x在某一过程中，fx与A要有多接近就有多接近，或者说fx与A的误差可达到任意小。“x无限接近于a”，“fx无限接近于A”均刻划了变量无限接近于某个常数。这里有两点值得注意：①无限接近是指在变化过程中，变量与某个常量要有多接近就有多接近，或者说fx与A的误差可以达到任意小，因此“无限接近”与“越来越接近”的含义是不同的。②变量无限接近于某个常量并没有要求达到这个常量，如“x无限接近于a时，fx无限接近于A”，这个描述并不要求也不要求．．．x最终达到a，．．．fx达到A。这一点不可忽视。A4闭区间上连续函数具有：有界性、最值性、介值性、零值性。在这里，闭区间与函数连续这两个前提应引起充分的注意，当前提不满足时结论就不能成立。数列极限是特殊的函数极限。因此，其极限性质也有其特殊性。如函数极限只具有局部有界性，而存在极限的数列xn是有界的，这里就有一个局部和整体的差别，其它性质也可进行对照比较。A5闭区间上连续函数的性质在实际中应用较广泛，在科学技术中常需知某个方程的根的近似值。对于较复杂的方程，若知fafb0便可由零值定理知所求的根落在a,b内，而求出满足fafb0的a，b一般比求出方程fx0的根要容易得多。（二）B1“连续”是个局部的概念，是在xx0这一点定义的，因此区间上的连续函数是指对区间上的任一点处，函数都连续。B2函数fx在x0连续的定义常用以下两种：定义1：若fx在点x0的某个邻域内有定义，且limfxfa，则称函数xx0fx在x0处连续。定义2：若fx在点x0的某个邻域内有定义，且fx在x0处有limy0，x0则称函数fx在x0处连续。从以上定义中看出，fx在x0处连续的充要条件为同时满足以下三条：①limfx存在；②fx在xx0处有定义；③极限值limfx与函数值xx0xx0fx0相等。B3无穷小量就是极限为0的变量，因此，极限为的变量显然不是无穷小量，依无穷大量的定义，它是无穷大量。常用的等价无穷小量：当x0时，x~sinx~tgx~ln1x~ex1；ax1~xlnaa0；1x1~x0。B4计算极限的基本方法小结：1．利用极限四则运算、夹逼原理、两个重要极限求极限；2．约简分式、分子（分母）有理化法；3．变量替换法；4．等价无穷小的替换法；5．利用连续函数求极限法6．利用对数求极限法；7．利用洛必塔法则求极限（第二章后）。（三），“”语言定义函数极限具有简练、精确、使用方便的C1用“X”特点。但由于这种语言要通过一些符号、式子来表达，从而比较抽象。因此应将极限的描述性定义与用“X”，“”语言给出的定义加以对照，深入理解。下面以limfxA为例，将极限的描述性定义转化为用“”语言给出xx0的定义，从而加深对用“”语言的理解。xx0limfxA表示了：当x无限接近于x0时，因变量fx无限地接近于常数A，即：fxA可以任意小，只要xx0充分小（不用考虑xx0的情况）即：0，只要xx0充分小，（不用考虑xx0的情况），就有fxA，即：0，0，当0xx0时，就有fx。这时应注意到，且不唯一。而定义中对，只要求了它的存在性，加外并无要求。由的任意给定和fxA的呼应，用运动变化的观点来刻