第六讲勾股定理及其证明.docx

第六讲勾股定理及其证明

第一篇：第六讲勾股定理及其证明八年级数学（下）讲义第六讲勾股定理及其证明勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2如图，若a、b为直边，c为斜边，则有a2+b2=c2简述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。勾股定理的证明：（附后）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。简述为：一边的平方等于另两边的平方之和的三角形是直角三角形。注意两个定理条件和结论的互换关系。勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.【证法2】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1三角形的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.2ba∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.124abbac22∴.222∴abc.赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》。它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2(a+b)2.ab221ab1c222.∴2∴abc.【证法4】（辛卜松证明）D设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划ab分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为a2b22ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为ab241abc2=2abc.∴ab2ab2abc,∴abc.222222勾股定理基础练习一选择（24）一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其面积为（）A2BC1D222若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（）A14B14、4C8D4、8／／3如图7,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为（）A、3；B、4；C、5；D、6。4如图6、是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少要走（）A、140米B、100米C、120米D、90米5如图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2。则对角线AC的长为（）A21B21221．C．D．3336在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（）（A）5(B)4(C)3(D)2a7如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），余下的部分拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个b等式。则这个等式是（）a→b图2图1（A）a2-b2=(a-b)(a+b)(B)(a+b)2=a2+2ab+b2(C)(a-b)2=a2-2ab+b2(D)(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b28把直角三角形的两直角边同时扩大为原来的两倍,则斜边扩大为原来的_____A．２倍Ｂ３倍Ｃ．４倍Ｄ．６倍9放学以后小林和小明从学校出发,分别沿东南方向和西南方向回家,他们的行走速度都是40m/min