类比思想在二次函数教学中的运用.docx

类比思想在二次函数教学中的运用

第一篇：类比思想在二次函数教学中的运用类比思想在二次函数教学中的运用数学是一门严密性、逻辑性、方法性都很强的学科，在探寻问题解答方法和思路的进程中，需要运用到多种多样的解题方法和数学思想。作为初中数学解题思想策略之一的类比思想在数学问题解答中有广泛的运用。著名教育家、活动家刘文雅曾经对类似思想进行过形象生动的阐述：“类比就像一位伟大的领路人，引导人类由此及彼、由表及里，深挖事物、现象和规律的本质，搭建通向成功彼岸并获取胜利的‘桥梁’”。数学中的许多定理、性质、公式等，都是通过类比推理方法得到的。类比思想的有效运用能有效开启学生思路发展的“大门”，提升思维的灵活性和创造性。本文主要分析二次函数问题解答中类比思想的运用。问题1：小明利用几何画板，将抛物线y＝x2+bx+c先向右平移了3个单位，然后又向下平移了2个单位，此时他得到抛物线y=x2-3x+5，试求出b,c的值。分析：y=x2-3x+5变形为y=（x-■）2+5-■，即y=（x-■）2+■，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y=（x-■+3）2+■+2，即y=x2+3x+7，所以b=3，c=7。解题策略：在解决此类问题时，应该使用逆推理，采用由表及里的方式类比推理，反向推导，从而得到向左平移3个单位，又向上平移2个单位的，可得到抛物线y=x2+bx+c的解析式．问题2：现在知道有一个二次函数y=ax2+bx，它的函数图像分别经过两个点，分别是（2，0）和（-1，6）。（1）试求出这个函数的解析式；（2）根据问题条件，作出这个函数的图像，观察图像，当x在什么情况下，y＞0？分析：由问题条件可以得知，解答需要运用到二次函数与一元二次方程以及一元二次不等式之间关系的知识，根据该问题所揭示的条件关系，采用类比推理的方法，第一小题可以通过列方程组解答，第二小题通过数形结合方法，观察图像得出x的取值情况。解：（1）由待定系数法不难求出二次函数的解析式为y=2x2-4x。（2）所做函数图像如图所示，通过观察此函数图像，可以知道y＞0时，曲线在（0,0）和（2,0）以上，因此x的取值范围是x＜0或x＞2。解题策略：上述问题案例解答过程展示了关于二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间问题解答的一般方法，在解答过程中，应该采用转化类比的思维方法，将函数观点转化为解方程的解和不等式的解集思路进行解答。解题过程中，应注意解方程与解不等式之间的区别和联系，不能混淆，避免出现解题错误。问题3：已知方程x2+bx-3=0的其中一根是-3，如果y=x2+bx-3图像分别经过三点A（-■，y1）、B（-■，y2）、C（■，y3），则y1、y2、y3三者的大小关系是什么？分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系。解答：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，∴y=x2+2x-3，观察该抛物线的开口方向特点，可以发现，该抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，A、B、C三点都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3。点评：上述问题是关于二次函数图像点的坐标特点，解题的关键是求函数解析式来判定函数值的大小关系。问题4：东方红玩具厂去年生产毛绒玩具，已知每件玩具的成本价是10元，它的出厂价是每件12元，该厂共销售此种玩具2万件。今年该厂准备提档升级该产品。已知该厂今年每件玩具的成本价要比去年增加0.7x倍，相应的出厂价就要提高0.5x倍，通过市场评估，今年的销售量将比去年增加x倍（0＜x≤11）。（1）用含x的代数式表示今年该厂毛绒玩具的成本和出厂价；（2）试求出今年该厂每一件毛绒玩具的利润函数关系式（用含x的代数式表示y）；（3）如果今年东方红玩具厂毛绒玩具的销售利润是W万元，如果今年年销售利润取得最大值时，则x的值为多少？并求出今年的最大销售利润。分析：本题是关于二次函数的应用题，该问题解答时应该运用二次函数的最值求法，解题时应类比推导出二次函数的最值解答方法。（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10?0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12?0.5x）元/件；（2）今年毛绒玩具出厂价减去成本价即是该件玩具的利润，即可得到y=（12+6x）-（10+7x）函数关系式；（3）今年的销售量应该是（2+2x）万件，从而得到W=-2（1+x）（x-2），再利用二次函数的最值问题进行求解。解答：（1）10+7x；12+6x；（2）y=（12+6x）-（10+7x），∴y=2-x（0＜x＜2）；（3）∵W=2（1+x）2y=-