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自考复习专题：线性代数第2章

第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.407.707.10直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。2.1线性方程组和矩阵的定义2.1.1线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。例1写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。注意:矩阵和行列式的区别。二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。例如都是零矩阵。2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称n阶方阵为n阶对角阵。特别若上述对角阵中，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。2.2矩阵的运算这节介绍（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。2.2.1矩阵的相等为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。定义2.2.1如果矩阵A，Ｂ的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵Ａ与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如虽然行列式有但矩阵；。2.2.2矩阵的加减法定义2.2.2设A与B都是m×n阶矩阵(即A与B同型)，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为m×n阶矩阵例1设求A+B、A-B。【答疑编号12020103】例2则A与B不能相加(减)，或说A±B无意义。加法运算的性质设A，B，C都是m×n阶矩阵，O是m×n阶零矩阵，则1.交换律A+B=B+A。2.结合律(A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵对于任意的m×n阶矩阵定义，显然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。2.2.3数乘运算定义2.2.3数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，定义为例3设，求3A。【答疑编号12020104】解例4设，求3A-2B。【答疑编号12020105】例5已知，求2A-3B。【答疑编号12020106】数乘运算满足：1.1·A=A2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A3.分配律k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA例6已知，且A+2X=B，求X。2.2.4矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。一、定义定义2.2.4设矩阵，(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个m×n阶矩阵，其中(i=1,2,……m,j=1,2,…n)可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数＝B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。例如则A,B可以相乘，其乘积其中例7设矩阵【答疑编号12020201】问BA有意义吗？无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以BA无意义。例8(1)设矩阵(2)求AB；BA【答疑编号12020202】此例说明AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。例9设矩阵，求AB,BA。【答疑编号12020203】为什么这样定义乘法？考虑线性方程组设，则，于是线性方程组(1)就可以写成矩阵形式AX=b。这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。二、性质（1）乘法没有交换律，AB不一定等于BA。（2）结合律(AB)C=A(BC)（3）分配律(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC（4）数乘与乘法的结合律k(A