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西安工业大学高数期末考试题及答案试题

第一篇：西安工业大学高数期末考试题及答案试题高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）111.limlim11xxxyxyyyxxyy1lim1xxyyxyxylim1ye0.1yycoscosFyyzxz.esin0xz2xz2.函数zz(x,y)由方程确定，则xyFzxexe3.设函数ulnx2y2z2，则它在点M0(1,1,1)处的方向导数的最大值为.34.设函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a5.5.空间曲线12)处的切线方程为y22x,z21x在点(,1,22xzy1.1116.改变积分次序：Idx2xx20f(x,y)dydy11y211y2f(x,y)dx.7.设平面曲线L为下半圆周yx2，则8.设为曲面zL(x2y2)ds1dsL1.2x2y2在0z1的部分，则xdS0.ex,x0,则其以2为周期的傅里叶级数在x处收敛于9.设f(x)0x1,1(1e).210.设y1,y2,y3是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为C1(y1y2)C2(y2y3)y1.y1y2常y2y311.函数f(x)展开为x的幂级数的形式为n1xn2xn02x(2,2).12.微分方程yyxex的通解为Cxxex.x二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设zf(,e)，y(x)，其中f,均为一阶可微函数，求解：yxxydz.dxdzyxyxyf1fe(yxy)22dxxx(x)(x)xyfe((x)x(x))f122x1222.求曲面z4(xy)与平面z2所围立体的体积.解：所围立体在xoy面的投影域D:x2y24，所围立体的体积V1212[4(xy)]2dxdy2dxdy(x2y2)dxdy22DDD212222drrdr8440203.在曲面x22y23z266上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面xyz1平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令F(x,y,z)x22y23z266，则切平面的法向量n(Fx,Fy,Fz)M(2x,4y,6z),已知平面xyz1的法向量n1(1,1,1)依题意n//n1，即2x4y6z令t111代入曲面方程中解的x6,y3,z2，即切点坐标为M(6,3,2).三、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设是由锥面zx2y2与半球面zx2y2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，求曲面积分xdydzydzdxzdxdy.解：已知P(x,y,z)x，Q(x,y,z)y，R(x,y,z)z，由高斯公式有xdydzydzdxzdxdy（PQR)dvxyz3dv3d4dr2sindr232(12.写出级数21)(22)231357234的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.22222n1解：该数项级数的通项为un；级数为正项级数，由于nlimun112n11lim，nun22n12n由比值审敛法知该级数收敛.令s(x)(2n1)x2xnxnn1n1n1xn2xs1(x)s2(x)x(1,1)，n1则于是xs1(t)dtntn1xn1dtxnn1x，1xdx1s1(x)，s(t)dt01(1x)2dx又s2(x)xnn1x，1x所以2xxxx2s(x)21x(1x)(1x)2于是x(1,1)，11xx2s()(2n1)n3.222n1(1x)x13.求微分方程y3y2y2ex的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r3r20的特征根为r11,r22，f(x)2ex的1为特征方程的单根，则原方程的特解为y*Axex，代入原方程中得A2,齐次线性微分方程的通解为YC1exC2e2x,所以原方程的通解为yYy*