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解析几何教案(三)（五篇材料）

第一篇：解析几何教案(三)第三章平面与空间直线3.1平面的方程由于确定平面的几何条件不同，所以方程有许多不同的形式。1.由平面上一点与平面的方位矢量决定的平面方程（1）决定平面的几何条件：过点M0与两个不共线矢量a，b平行。（2）导出方程：取标架{O；e1，e2，e3}，设r0=OM0。OM=r。点M在平面上a，b，M0M共面。因为a，b不平行，所以存在实数u，v使M0M=ua+vb，又M0M=OMOM0=rr0，所以rr0=ua+vb，即（3.1-1）叫平面的矢量式参数方程，其中u，v为参数r=r0+ua+vb，如果M0(x0,y0,z0)，M(x,y,z)，a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}则平面的坐标式参数xx0x1ux2v方程为yy0y1uy2vzzzuzv012(u,vR)（3.1-2）消去参数u，v，得(rr0,a,b)0（3.1-3）xx0或yy0y1y2zz0z1z20（3.1-4）x1x2点位式方程例：求过点(1,0,1)，方位矢量a{1,1,1}，b{2,0,1}的平面参数方程的点位式方程。x1x1u2v解：yuz1uvx1y即：(u,vR)z11011210例1已知不共线三点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)，M3(x3,y3,z3)，求通过M1,M2,M3的平面方程。解：取平面的方位矢量aM1M2{x2x1,y2y1,z2z1}，bM1M3{x3x1,y3y1,z3z1}xx1(x2x1)u(x3x1)v平面的坐标式参数方程为yy1(y2y1)u(y3y1)vzz(zz)u(zz)v12131xx1消去参数u，v得x2x1(u,vR)yy1y2y1y3y1zz1z2z10（3.1-8）z3z1x3x1三点式方程作为特例M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)abc0xa三点式方程为：ayzab000c展开整理：bcxacyabzabc由于abc0，所以上式可写成xyz（3.1-9）abc（3.1-9）叫平面的截距式方程，a,b,c分别叫做在x,y,z轴上的截距。2平面的一般式方程因为空间任一平面都可以用它上面的一点M0(x0,y0,z0)和它的方位矢量a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}确定，因而的方程可写成xx0x1x2yy0y1y2zz0z1z20展开可写成（3.1-10）y1AxByCzD0其中Ay2z1z1，Bz2z2x1x1，Cx2x2y1y2因为a，b不共线，A,B,C不全为零，这表明空间任一平面可用x,y,z的一次方程来表示：反过来，可以证明关于x,y,z的一次方程（3.1-10）总表示一个平面。这是因为A,B,C不全为零，不失一般性，不妨设A0，那么（3.1-10）可以写成：A2(xD)AByACz0AxBCDAyA0z00AD,0,0)，方位矢量为{B,A,0}和{C,0,A}的平面。因此，我们有定理A定理3.11空间中任一平面的方程都可表示成一个关于x,y,z的一次方程；反过来，每个关于x,y,z的一次方程都表示一个平面。这是过点(方程（3.1-10）叫做平面的一般式方程。一般式方程的特力：：AxByCzD01.D0平面过原点2.A,B,C中有一个为零，比如C0，这时AxByD0D0（0，0，z）不满足方程，无交点与z轴平行D0过z轴C0，平面过z轴或平行z轴3.A,B,C有两个为零，BC0，这时AxD0D0与xoy平行D0x0与xoy重合例2求过点M1(2,1,1)，M2(3,2,1)且平行于z轴的平面方程。解：设平行于z轴的平面方程为AxByD0（1）它过M1,M2两点，代入（1）得2ABD0（2）3A2BD0（3）111221由（2）（3）得A:B:D::1:1:1211332所以所求平面方程为xy10AxByD0令：因为2ABD0关于A,B,D有非零解3A2BD0x所以2y1110即：xy103213.平面的法式方程（1）确定平面的几何条件：过定点M0且与非零矢量n垂直的平面唯一确定法矢量：与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量。（2）导出方程：取直角坐标系{O;i,j,k}，设r0=OM0，r=OM点M在平面上