计算方法公式总结.docx

计算方法公式总结

第一篇：计算方法公式总结计算方法公式总结绪论exx，x为准确值，x为近似值。绝对误差绝对误差限r|e||xx|，ε为正数，称为绝对误差限xxe表示相对误差通常用exxrxxe相对误差e*xxr相对误差限|er|r或|e|r有效数字一元函数y=f（x）'e(y)f(x)e(x)绝对误差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)er(x)相对误差ryyf(x)二元函数y=f（x1,x2）绝对误差f(x1,x2)f(x1,x2)e(y)dx1dx2x1x2f(x1,x2)x1f(x1,x2)x2e(y)er(x1)er(x2)相对误差rx1yx2y机器数系注：1.β≥2，且通常取2、4、6、82.n为计算机字长3.指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U4.尾数部s0.a1a2an，定位部pn112(1)(UL1)5.机器数个数机器数误差限1np舍入绝对|xfl(x)|截断绝对|x2fl(x)|np|xfl(x)||xfl(x)|11n1n舍入相对截断相对|x||x|2秦九韶算法方程求根f(x)(xx)mg(x)，g(x)0，x*为f（x）=0的m重根。二分法迭代法f(x)0xk1(xk)k=0、1、2……**lim{x}x(x){xk}为迭代序列，(x)为迭代函数，kk局部收敛注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛牛顿迭代法f(x)f(xk)f(xk)(xxk)0f(xk)xk1xk'(k0,1,2,)f(xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。'牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中f()M()',在这个区间内验证这四个条件。f()如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数线性方程组求解有两种方法：消去法和迭代法高斯消去法利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。对角占优矩阵a11aA21an1na12a22an2a1na2nann则称A为按行严格对角占优矩阵|aii||aij|(i1,2,,n)j1jin|ajj||aij|(j1,2,,n)i1ij则称A为按列严格对角占优矩阵aijaji(i1,jn)xR,x0,(x,Ax)0则称A是对称正定的。当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时追赶法是高斯消元法的一种特例nakk0，不用换行。列主元高斯消元法|aik|，即第k次消元把k~n行第k列绝对值当|ask|maxkin最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。(k)(k)迭代序列构造AxbxBxfx第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。迭代收敛判别1.充分条件：迭代矩阵范数小于1，B1结论：Ax=b有唯一解x*(k1)Bx(k)f2.充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,(B)1Jacobi迭代法ALDU其中L（low）为下三角，U为上三角，D为对角线元素迭代格式：x(k1)D(LU)x(k)D1b1迭代矩阵JD(LU)1收敛性判据：|IJ|0|D||LDU|0|LDU|0求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛.1Gauss-Seidel迭代法迭代格式x(k1)D(Lx1(k1)Ux(k)b)(k)x(k1)(DL)Ux11(DL)1b迭代矩阵：G(DL)U常数矩阵：g(DL)1b收敛性判据：|IG|0|(DL)||(DL)U|0|(DL)U|0求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的1插值法用插值多项式p（x）代替被插函数f(x)nP(x)aaxax插值多项式：，01nn+1个点P(xi)yi(i0n)插值区间：[a,b]，插值点满足ax0x1xnb求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。一次线性插值n