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计算方法总结[本站推荐]

第一篇：计算方法总结[本站推荐]第一章：基本概念x1x2...xm.xm1xm2...xmn1.xx1x2...xm.xm1xm2...xmnxmn1x若xx1mn及其以前的非零数字称为准确数字。准确到n位小数，x10n，称x2各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。2.f(x)xl0.x1x2...xt进制：，字长：t，阶码：l，可表示的总数：2(UL1)(1)t113.计算机数字表达式误差来源实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。4.数据误差影响的估计：yy1nnyy(x1,x2,...xn)(x1,x2,...xn)xixixi，小条件数。xiyxiy1解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。5.算法的稳定性若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。第二章：解线性代数方程组的直接法1.高斯消去法步骤：消元过程与回代过程。顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。2.列主元高斯消去法失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。解决：在消去过程的第K步，交换主元。还有行主元法，全主元法。3.三角分解法杜立特尔分解即LU分解。用于解方程AXbLUXbLYb；UXY用于求ALULUUu11u22...unn。克罗特分解：ALULDD1U(LD)(D1U)，下三角阵和单位上三角阵的乘积。将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。对称正定矩阵的乔列斯基分解，AGG，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解TAXb的平方根法。改进平方根法：利用矩阵的ALDL分解。4.舍入误差对解的影响T向量范数定义：常用的向量范数：矩阵的范数：常用的矩阵范数：矩阵范数与向量范数的相容性：影响：xxk1kAA(bA1其中cond(A)kAA，k值大，病态问题。)，bA第三章：插值法1.定义给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多nx)。项式：Pn(x)a0a1xa1x2...a1xn，使满足Pn(xi)yi。取f(x)P(称Pn(x)为插值多项式，xi为插值节点，f(x)为被插函数。插值问题具有唯一性。2.Lagrange插值多项式表达式：误差估计式：3.Newton插值多项式差商：表达式：误差表达式：差商的性质：1)差商与节点的次序无关；2)K阶差商对应K阶导数；3)4)5)4.埃尔米特（带导数）插值多项式1)Newton法，给定f及f(k)为数字；2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。5.三次样条插值函数分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。三次样条插值函数的导出：第四章：函数最优逼近法1.最优平方逼近对于广义多项式：P(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)，其中i(x)线性无关。要求：若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当i(x)xi，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。2.函数的内积，范数定义及其性质内积的定义：性质：范数的定义：范数的性质：正规方程组或法方程组：3.正交多项式正交函数系的定义：代入正规方程组的系数矩阵，则：几个正交多项式举例：1)勒让德多项式2)拉盖尔多项式3)埃尔米特多项式4)切比雪夫多项式四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。正交多项式的性质：1)正交多项式gk(x)线性无关，推论：Pk(x)(kn)与gn(x)正交。2)在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。3)设gk(x)是最高次项系数为1的正交多项式，则：4.最优一致逼近法(1)切比雪夫多项式的性质性质1：Tk(x)是[-1,1]上关于(x)11x2(T0,T0),(Tk,Tk)/2；的正交多项式，性质2：Tk1(x)2xTk(x)Tk1(x)；性质3：Tk(x)是最高次项为2x的奇次项；k1xk的k次多项式，T2k(x)只含x的偶次项，T2k1(x)只含2i1,i0,1...k1；2ki性质5：在[-1,1]上，Tk(x)1，且在k+1个极值点xicos,i