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证明不等式的几种方法

第一篇：证明不等式的几种方法证明不等式的几种方法黄启泉04数学与应用数学1班30号近几年来,有关不等式的证明问题在高考、竞赛中屡见不鲜，由于不等式的证明综合性强，对学生的思维灵活性与创造性要求较高，因此，许多考生往往“望题生叹”，本人通过对该类题目认真分析与研究，总结以下几种解题方法，下面结合一些热点题加以简要的介绍。1．运用重要不等式法，一些重要不等式如均值不等式，柯西不等式等在证明一些不等式题目中往往能取得一种立杆见影的效果。1.1运用运用均值不等式例1，已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd证明：由a,b,c,d都是正数，得abcd20,acbd20.(abcd)(acbd)abcd.即(abcd)(acbd)4abcd1.2运用柯西不等式例2.设a,b,x,y,kR,k1,且a2b22kab1,x2y22kxy1.axby证：因为a2b22kab1,所以(a-kb)221(1)同样的，2(kx-y)21(2)运用柯本不等式式解：（1）左*（2）左[(akb(kxy)]axby)故axby成立2．配凑常数法常数在不等式证明当中有着举足轻重的作用，充分发挥好常数的“过渡”功能，将使证明的解决如虎添翼。例3.已知a,b,cR，求证acb+cbcaab32证明，给每个式子配以常数k有abcb+ccaab3(abcb+c1)（ca1)(ab1)(abc)(1b+c1ca1ab)1112[(bc)(ca)(ab)](b+c1caab)12(111)所以abb+ccac9ab332，当abc时，可以取等号，故命题得证。3.待定系数法当直接运用重要不等式较难达到目标时，有时可引入参数作为待定系数再根据题意解方程达到目标。例4.设x,y,z是不全为零的实数，求证xy2yzx2y2z证：对不等式左边分子式分母直接运用均值不等式显然达到目标，为此引入待定系数a,b从而有：xy2yz221zba1x2y221222abybza2x21212abyz2b令a1b1即ab22ab解xy2yzxy2z即xy2yzx2y2z4.向量法向量做为中学数学一种新的工具，具在证明不等式中有时能达到异曲同工之效。例5.已知x,y,z是非负实数，具x+y+z＝1求证：证：构造向量：axy,x,y,byz,y,z,则czx,z,x.abc(2,1,1),由abcabc代入原式成立易知xyz13时取等号。5．倒数变换法这里所说的倒数变换是指将每一个字母都用其倒数的形式来代替，对一些分式不等式采用这一变换后，有时可将式子的结构化简从而为不等式的证明找到契机。例6.已知abcR,且abc1,求证：11abcbac1cab证：令A＝1a,Bb,C1c,则A，B，CR，且ABC＝1此式左边＝A+B+CA+B+C+B+CB+C+A+C+AA+B－3＝12B+C+A+C+A+B111++B+CA+CA+B392－3＝32即原命题得证注：倒数变换方法实质是通过变换达到化繁为简的目的，或将不熟悉的不等式转化为熟透的不等式，需要注意的是，变量代换后的取值范围可能有变化6分母置换法一般地，在分子不等式中当一个分式的分子较简捷而分母相对较复杂时，通过对分母进行代换可以使解题思路变得更顺畅。例7.已知abc，R求证abcb3c8c49a347a2。b48证：令b3c,则xa9cb3cb8c4a3a2b1y4x1z98yx614zxz9z61x16yz48由均值不等式解1y4x1z9x14z8xy9y616xz16yz48118*416*616*1261484748当且仅当y2x,z3x时取等号。故原命题得证。7.数形结合法恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又提示其几何直观使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形像巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，有时能使问题化难为易，化繁为简。例8.已知x0,x2yz21,