证明不等式的几种常用方法.docx

证明不等式的几种常用方法

第一篇：证明不等式的几种常用方法证明不等式的几种常用方法摘要：不等式由于结构形式的多样化化,证明方式也是灵活多样,但都是围绕着比较法、综合法、分析法三种方法展开.这三种方法是不等式证明的最基本、最重要的方法.关键词：不等式证明;比较法;综合法;分析法引言：不等式的证明是初高中教学中的一个难点,由于结构形式不同,其证明方法也是灵活多样的,且技巧性强.学生需要重点掌握的不等式证明的常用方法如比较法、综合法、分析法,它们是不等式证明的最基本、最重要的方法.虽然证明不等式的方法灵活多样,但都是围绕这三种基本方法展开.1比较法法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法.1.1作差比较法作差比较法：要证不等式abab,只需证ab0ab0即可.作差比较法步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论.①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和．③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．例1已知a,b,m都是正数,并且ab,求证：ama.bmb证明：amab(am)a(bm)m(ba).bmbb(bm)b(bm)∵a,b,m都是正数,并且ab,∴bm0,ba0,∴amam(ba).0即：bmbb(bm)aa1,欲证ab,需证1.bb1.2作商比较法作商比较法：若b0,要证不等式ab,只需证作商比较法步骤为：作商、变形、判断与1的大小、得出结论.例2已知a,b,m都是正数,并且ab,求证：ama.bmb证明：amab(am)abbm,bmba(bm)abammR,0ab,abbmabam,即abbm1,abamama．bmb综合法综合法就是由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法.例3已知xyz1,求证：xyz证明：xyz2222221.31[3(x2y2z2)]31222222222[xyz(xy)(yz)(zx)]31211222(xyz2xy2yz2zx)(xyz),3331222xyz.3bccaababc例4设a,b,c都正数,求证：abc证明：a,b,cR,bccaab，R,abcbccacaababbc∴2c,2a,2b,abbccabccaab2(abc),∴2(bcabccaababc∴abc分析法分析法：从结论出发,逐步逆找结论成立的充分条件.也就是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,基本步骤：要证……只需证……,只需证……1.31222证明：xyz1,为了证明xyz,3例5已知xyz1,求证：xyz222只需证明3x3y3z(xyz),即3x3y3zxyz2xy2yz2zx,2222222222即2x22y22z22xy2yz2zx,即(x22xyy2)(y22xyz2)(z22zxx2)0,即(xy)2(yz)2(zx)20．(xy)2(yz)2(zx)20成立,xyz2221成立．3(ab)2ab(ab)2ab.例6设ab0,求证：8a28b(ab)2(ab)2(ab)2证明：要证原不等式成立,只需证：.8a28b∵a(ab)2(a)2只需证1.4a4babab只需证,12a2ba只需证1ab∵ab0上式成立,∴原不等式在ab0时成立.结束语关于不等式的证明,上面的三种方法是最基本的方法,该类不等式的证明方法是以上三种方法的延伸.有待读者进一步的研究.第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。1比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10