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赋值法证明不等式

第一篇：赋值法证明不等式赋值法证明不等式的有关问题1、已知函数f(x)=lnx（1）、求函数g(x)(x1)f(x)2x2(x1)的最小值；（2）、当0222a(ba).a2b22、已知函数f(x)=xlnx,g(x)=axx(aR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值点；(2)求使f(x)g(x)恒成立的实数a的取值范围；(3)求证：不等式ln(e1)nn1(nN)恒成立ne3、设函数f(x)axn(1x)b(x0),n为正整数,a,b为常数.曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为xy1.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;(Ⅲ)证明:f(x)1ne4、已知函数f(x)=lnx-x+1（1）、求函数f(x)的最大值；111ln(1n),n.23n2x5、已知函数f(x)=alnx1,x1（2）、求证：1（1）、若函数f(x)在单调递增，求实数a的取值范围；12lnx12x4,x2;x111111（3）、求证：lnn1(nN,n2).462n2n1（2）、当a=2时，求证：16、已知函数f(x)eax1(a0)（1）求f(x)得最小值；（2）若f(x)0对任意的xR恒成立，求a的取值范围；xe12n1n（3）在（2）的条件下，证明：（其中nN）nnnne18、已知函数f(x)=eaxa,xnnnn（1）、若a0,f(x)0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。（2）、设g(x)f(x)a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是曲线yg(x)上任意两点，xe若对于任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求实数m的取值范围。(3)、求证：135(2n1)2、已知函数f(x)(xa)7blnx1,其中a，b是常数，且a0，（1）若b1时，f(x)在区间上单调递增，求a的取值范围；2nnnn(2n)n(nN).e14a2（2）当b时，讨论f(x)的单调性；7（3）设n是正整数，证明ln(1n)(15、已知函数f(x)=xlnx-axx(aR)(1)若函数f(x)在处取得极值，求a的值；(2)若函数f(x)的图像在直线的图像的下方，求a的取值范围；(3)求证：ln(234n)n1(nN).。解:(Ⅰ)因为f(1)b,由点(1,b)在xy1上,可得1b1,即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn,所以f(1)a.又因为切线xy1的斜率为1,所以a1,即a1.故a1,b0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)xn(1x)xnxn1,f(x)(n1)xn1（令f(x)0,解得x在(0,nx).n12n27111111)7(1).22223n23nnn,即f(x)在(0,)上有唯一零点x0.n1n1n)上,f(x)0,故f(x)单调递增;n1n,)上,f(x)0,f(x)单调递减.n1而在（nnnnnn故f(x)在(0,)上的最大值为f(.)()(1)n1n1n1(n1)n1111t1(t0),则(t)2=2(t0).tttt在(0,1)上,(t)0,故(t)单调递减;而在(1,)上(t)0,(t)单调递增.(Ⅲ)令(t)lnt1+故(t)在(0,)上的最小值为(1)0.所以(t)0(t1),1即lnt1(t1).t令t11n11n1n1,得ln,即ln()lne,nnn1nnn1n1n1所以(.)e,即(n1)n1nennn1由(Ⅱ)知,f(x),故所证不等式成立.(n1)n1ne已知函数f(x)alnxax3.(aR)（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为450，且方程f(x)m至少有一个实根，求实数m的取值范围；（3）求证：ln2ln3lnn1(n2,nN).23nn第二篇：放缩法证明不等式放缩法证明不等式不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方