阿波罗尼定理之逆定理的一个证明（合集5篇）.docx

阿波罗尼定理之逆定理的一个证明（合集5篇）

第一篇：阿波罗尼定理之逆定理的一个证明阿波罗尼定理之逆定理的一个证明宁夏回族自治区固原市五原中学马占山(756000)阿波罗尼定理之逆定理如果一个凸四边形的四边的平方和等于对角线的平方和，那么这个四边形是平行四边形．笔者在数学中国几何天地网站论坛中得知该定理历史悠久，2004年李明波先生给出了证明．本文给出这个定理的证明.为证定理,在此首先给出一个几何命题.命题在ABC中,点D是边BC的中点,则ABAC2(AD证明:过点D作DFBC于点F.在RtABE,RtADE,RtACE中由勾股定理可得:AD2AE2DE2AB2BE2DE2AB2(BDDE)2DE22221BC2).4AB2BD22BDDE(1)同样有:AD2AE2DE2AC2CE2DE2AC2(CDDE)2DE2AC2CD22CDDE(2)(1)+(2)得2AD2AB2AC2(BD2CD2)AB2AC22(AD2下面证明给出定理的证明.1BC2)4已知:四边形ABCD中AC,BD是对角线,且满足AB2BC2CD2DA2AC2BD2求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:第二篇：勾股定理的逆定理的证明用“勾股定理”证明“勾股定理的逆定理”——反证法湛江市爱周中学伍彩梅八年级数学学习的勾股定理，是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，内容是：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么abc”。勾股定理的逆定理给出了一个用代数运算判定一个三角形是直角三角形的方法，内容是：“如果三角形的三边长a、b、c满足abc，那么这个三角形是直角三角形”。这两大定理都来源于实践，并在实践中得到广泛的应用。定理的证明，有助于加深对定理得理解，有助于实现从感性认识到理性认识的飞跃。教材中，勾股定理的证明采用了多种方法，学生容易理解。而课本里用三角形全等证明了该定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”来证明，这种方法学生一时不易理解。实际上，我们也可以用“勾股定理”来证明“勾股定理的逆定理”——反证法。表述如下：已知△ABC的三边长a、b、c满足abc，求证：△ABC是直角三角形。用反证法证明如下：由abc，可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。分两种情况进行。（一）假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。如图（1）222222222222B图（1）过B作BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。如图（2）图（2）在图（2）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：a1(bb1)2c2（1）a1b1a2（2）22由（1）得a1b12bb1bc（3）22222把（2）代入（3）得a2b22bb1c2（4）对比已知条件abc可得b10把b10代入（2）得a1a2，则a1a因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。（二）假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。如图(3)2222BcaAb图（3）C过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。如图（4）Bcaa1AbbDCb2图（4）其中BD=a1，AD=b1，DC=b2，b1b2b在图（4）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：22a1b1c2（5）a1b2a2（6）把（5）-（6）得2222c2a2b1b2(b1b2)(b1b2)b(b2b2)b22bb2整理得c2a2b22bb2（7）对比已知条件abc得b20所以b1b则点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。因此，勾股定理的逆定理得到证明。2007-3-12222第三篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角CAE=角ABC，求证AE是圆O的切线证明：连接AO并延长交圆O于D，连接CD，则角ADC=角ABC=角CAE而AD是直径，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE所以角DAE=角DAC+角CAE=90度故AE为切线第四篇：三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀中小学教育资源交流中心http://提供三垂线定理及逆定理上海市同洲模范学校宋立峰三垂线定理及逆定理面内直线面外点，过点引出两直线；斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。面内直线垂射影，该直线就垂斜线。面内直线垂斜线，垂直射影来作伴。三垂线定理影垂不怕线斜(形影不离)即:垂直射影垂斜线三垂线定理逆定理斜垂影随其身(影随其身)即:垂直斜线