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高三数学均值不等式

第一篇：高三数学均值不等式3eud教育网http://百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3.2均值不等式教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab3eud教育网http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即22心重合；即a=b应用例题：例1、已知a、b、c∈R，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。例2、若a,例3证明：∵222∴abcabbcca例4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得abcdacbd0,0.22由不等式的性质定理4的推论1，得3eud教育网http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd归纳小结定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习P71练习A，P72练习B。3eud教育网http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！第二篇：2013高考数学均值不等式专题均值不等式归纳总结ab(ab2)2ab222(当且仅当ab时等号成立）(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值例：求下列函数的值域1（1）y＝3x2（2）y＝x2xx211解：(1)y＝3x2≥2x213x·2＝6∴值域为6，+∞）2x21(2)当x＞0时，y＝x＋≥x1x＝2；x1x·－2x11当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例:已知x，求函数y4x24514x5的最大值。4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，x54,54x0不是常数，所以，y4x21154x4x554x123131。当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0x32，求函数y4x(32x)的最大值。2x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2222当且仅当2x32x,即x技巧三：分离常数例3.求yx7x10x130,时等号成立。42(x1)的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元法解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。y(t1)7(t1）+10t=t5t4tt4t559（当t=2当,即t=时,y