高中数学公式完全总结归纳(均值不等式) 2（精选5篇）.docx

高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)2（精选5篇）

第一篇：高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)2均值不等式归纳总结a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab2ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*23.若x12(当且仅当x1时取“=”）x1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x0，则x若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxx4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababaab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』例1：求下列函数的值域（1）y＝3x＋212x21（2）y＝x＋x解：(1)y＝3x＋212≥22x3x·216∴值域为[6，+∞）2＝2x1(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x1x·＝2；x1x·=－2x11当x＜0时，y＝x＋－（－x－）≤－2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知x54，求函数y4x21的最大值。4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x5511x,54x0，y4x254x323144x554x当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当解析：由时，求知，yx(82x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2222当且仅当2x技巧三：分离32x,即x330,时等号成立。42x27x10(x1)的值域。例3.求yx1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t1)27(t1）+10t25t44y=t5ttt当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为AB(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。ymg(x)例：求函数y2的值域。2t(t2)，则y1t(t2)t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t2因t所以，所求函数的值域为5。,2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）ysinxx3x2．已知0条件求最值1.若实数满足ax1，求函数y.；3．0x，求函数y3.b2，则3a3b的最小值是.a分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解：3当3aa3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab63b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．11变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求