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高二不等式复习

第一篇：高二不等式复习高二不等式复习本周重点：复习不等式一章的整体知识结构本周难点：进一步深化不等式应用的思想和方法本周内容：1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：若a>b，则b(2)传递性：若a>b，b>c，则a>c；(3)可加性：，此法则又称为移项法则：(4)可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc：当c不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d：(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则an>bn；(4)开方法则：若a>b>0，n∈N+，则：(5)倒数法则：若ab>0，a>b，则掌握不等式的性质，应注意：(1)条件与结论间的对应关系，如是符号还是符号：(2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。2、均值不等式：利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为；当a,b≥0时，在具体条件下选择适当的形式。3、不等式的证明：(1)不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法：(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用：(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。4、不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式(组)是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数，数形结合思想，等价变换思想等。本周例题例1、已知f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。分析：从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。设f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5∴-1≤f(3)≤20说明：1.本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即代入f(3)，达到用f(1),f(2)表示f(3)的目的。，然后2.本题典型错误是-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。3.本题还可用线性规划知识求解。例2.设a>0,b>0，求证：分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。∴左≥右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。∴两式相加得：例3.设实数x，y满足y+x2=0，0分析：说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。例4.已知a，b为正常数，x，y为正实数，且分析：，求x+y的最小值。法一：直接利用基本不等式：当且仅当时等号成立说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。法二：消元为一元函数途径一：由∵x>0,y>0,a>0当且仅当时，等号成立途径二：令当且仅当时，等号成立说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。例5.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时，求实数a，b的值。分析：(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3∵f(1)>0∴a2-6a+3-b△=24+4b当b≤-6时，△≤0∴f(1)>0的解集为φ当b>-6时，∴f(1)>0的解集为(2)∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为(-1,3)∴f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)∵3x2-a(6-a)x-b例6.设a,b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|分析：在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。法一：令f(x)=x2+ax+b则f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0又∵0∴-1∴f(x)=0的两根在(-1,1)内，即|α|法二：同理：说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。例7.