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高数_第1章_极限计算方法总结

第一篇：高数_第1章_极限计算方法总结极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim10；lim(3x1)5；limqn0,当q1等。2x2n(n1)n定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同g(x)B时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限sinx(11)xe1（2）lim(1x)xe；lim（1）limxxx0x0x说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。（2）一定注意两个重要极限成立的条件。例如：lim1sin3x1，lim(12x)x0x03x12xe，lim(13)e；等等。xxx34．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x0时，定理4如果函数e3x1～3x；ln(1x2)～x2。f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于lim。xx0g(x)xx0g(x)xx0g(x)115．连续性定理5一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limxxf(x)f(x0)。求极限的一个方法。06．极限存在准则定理6（准则1）单调有界数列必有极限。定理7（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）limyna，limznnan则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxannn。二、求极限方法举例1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1lim3x12x1x1解：原式=lim(3x1)222x1(x1)(3x12)lim3x3x1(x1)(3x12)34。注：本题也可以用洛比达法则。例2limnn(n2n1)n解：原式=limn[(n2)(n1)]分子分母同除以nn2n1lim3n312112nn例3lim(1)n3nn2n3n上下同除以3n(1)n1解：原式lim3n1(2。3)n12．利用函数的连续性（定理6）求极限1例4limx2exx21解：因为x是函数f(x)x2ex02的一个连续点，所以原式=22e24e。3．利用两个重要极限求极限例5lim1cosxx03x2。xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例62xlim(13sinx)x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6。例7lim(nn2n)n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3。4．利用定理2求极限2例8limxsinx01x解：原式=0（定理2的结果）。5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9limx0xln(13x)2arctan(x)22x0解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x)～x，原式=limx3x3。2xexesinx例10limx0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1。解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：(ex1)(esinx1)xsinxlim1。原式=l