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高等数学三重积分计算方法总结

第一篇：高等数学三重积分计算方法总结高等数学三重积分计算方法总结1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）：1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy2）内层(定积分)：从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。（2）截面法（先二后一）：1)外层(定积分):区域Ω在z轴上的投影区间。2)内层(二重积分):Ω垂直于z轴的截面区域。2、利用柱坐标计算三重积分f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3、利用球面坐标计算三重积分f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd2定限方法:(1)转面定θ(2)转线定φ(3)线段定r4、利用对称性化简三重积分计算设积分区域Ω关于xoy平面对称，(1)若被积函数f(x,y,z)是关于z的奇函数，则三重积分为零。(2)若被积函数f(x,y,z)是关于z的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：1）积分区域关于坐标面的对称性；２）被积函数关于变量的奇偶性。2例计算x(xyz)dxdydz，其中Ω是由曲面z=x2+y2和x2+y2+z2=2所围成的空间闭区域.解：x(xyz)2x(x2y2z2)2x2y2xyz2zx2x(x2y2z2)2xyz是关于x的奇函数，且关于yoz面对称故其积分为零。2x2y是关于y的奇函数,且关于zox面对称2x2ydv0,Ix(xyz)2dxdydz202x2zdxdydz,222coszdddz0dd2coszdz222322dcos(2)d013224245第二篇：高等数学积分总结[推荐]问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程n积分定义：bfxdxlimfxiia0i1b计算方法:fxdxFbFaa一元定积分几何意义:连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：fx,ydlimf,iii0i1D计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下d=dxdy，在极坐标下d=rdrd二重积分几何意义:以D为底，fx,y为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积dD应用物理问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：fx,y,zdvlimf,,viiii0i1计算方法:直角坐标dv=dxdydz柱面坐标xrcos,yrsin,zz,dv=rdrddz三重积分球面坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos,dv=r2sindrdd定限的方法参考二重积分几何意义、物理意义应用几何应用物理问题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：fx,ydslimf,s,fx,y,zdslimf,,siiiiiii00i1i1LL计算方法:用路径函数L化简fx,y,化为一元定积分弧长元素ds=dx2dy22ds=1+y'xdx对弧长的曲线积分2ds=1+x'ydy第一型曲线积分22ds=t+'tdt22ds=r+r'd几何意义、物理意义应用几何应用物理n问题引例:曲面不均匀薄片的质量n积分定义：fx,y,zdSlimf,,Siiii0i1对面积的曲面积分计算方法:1、投影，2、代入，3、转换22第一型曲面积分fx,y,zdSfx,y,zx,y1zxzydxdyDxy应用几何：计算曲面面积应用物理Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1