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高等数学求极限的14种方法

第一篇：高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设xx0（1）若A0，则有0，使得当0|xx0|时，f(x)0；（2）若有0,使得当0|xx0|时，f(x)0,则A0。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：limf(x)A，收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充（1）数列xn要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（2）(3)xxx0limf(x)Af(x)Axxx0limf(x)xAlimAlimlimxx0lim(4)单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理）(6)柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limxx0f(x)存在的充分必要条件。是：0,0,使得当x1、x2Uo(x0)时，恒有|f(x1)f(x2)|二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“0”“”时候直接用0(2)“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)f(x)或f(x)g(x)g(x)；g(x)f(x)f(x)g(x)11g(x)f(x)f(x)g(x)11(3)“0”“1”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。00f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，13.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）x2xnexe1xxn1；2!n!(n1)!xx3x5x2m1cosx2m3msinxx(1)(1)m1x3!5!(2m1)!(2m3)!2mx2x4cosx2m2mxcos=1(1)(1)m1x2!4!(2m)!(2m2)!nx2x3xn1n1xn(1)(1)ln（1+x）=x-23n(n1)(1x)n1(1+x)u=1uxu(u1)2xCunxnCun1(1x)un1xn12!以上公式对题目简化有很好帮助4.两多项式相除:设an,bm均不为零，P（x）=anxan1xnn1a1xa0,Q(x)bmxmbm1xm1b1xb0anb,(mn)nP(x)P(x0)P(x)(1)（2）若Q(x0)0，则limQ(x)0,(nm)Q(x)Q(x)0xx0,(nm)xlim5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设abc0，xnanbncn，求limxnn解：由于axna,以及limaa,lim(ann)a，由夹逼定理可知limxnan（2）求lim121212(n1)(2n)nn解：由012n111111222，以及22n(n1)(2n)nnnlim0limnn0可知，原式=0n1(3)求lim2nn1nnn1n222nn112解：由11111nnn11nn1nn1nnnnn,以及1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：nnlim1limnnnlimn11得，原式=1求lim12x3xnnxn1(|x|1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：=lim