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高等数学

第一篇：高等数学§13.2多元函数的极限和连续一多元函数的概念不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vr2h。这些都是多元函数的例子。一般地，有下面定义：定义1:设E是R2的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xRxy222就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式x2y2R2的x，y全体，即D{(x,y)|x2y2R2}。又如，Zxy是马鞍面。二多元函数的极限定义2设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMMM0A或fMAMM0。定义的等价叙述1：设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fM在点0f(x,y)M02x,0y02E近有定义．如果0附，0，当xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极龙岩学院数计院限。记为limfMMM0A或fMAMM0。定义的等价叙述2：设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fM在点M0x,0y0f(x,y)附E近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMMM0A或fMAMM0。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋MM0于M0时，f(M)的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例1：设二元函数f(x,y)xyxyxyxy22222，讨论在点(0,0)的的二重极限。例2：设二元函数f(x,y)2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。0,例3：f(x,y)1,xy其它或y0，讨论该函数的二重极限是否存在。二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例4：limxyxxyysinxyx22。xy例5：①limx0y0②lim(xy)ln(xy)③lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)例6：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0cossincossin33220?龙岩学院数计院（注意：cos3sin3在74时为０，此时无界）。xyxy222例7：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)证明二元极限不存在的方法．，讨论在点(0,0)的二重极限．基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关．例8：f(x,y)xyxy22在(0,0)的二重极限不存在．三二元函数的连续性定义3设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fMMM0在M0点连续．0,0,当0如果f在开集E内每一点连续，则称f在E内连续，或称f是E内的连续函数。例9：求函数utanx2y2的不连续点。四有界闭区域上连续函数的性质有界性定理：若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理:若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。最大值最小值定理:若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。零点存在定理:设D是Rn中的一个区域，P0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。龙岩学院数计院五二重极限和