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高等数学(上)重要知识点归纳

第一篇：高等数学(上)重要知识点归纳高等数学（上）重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质1、定义（以数列为例）limxna0,N,当nN时，|xna|n2、性质f(x)Af(x)A(x)，其中(x)为某一个无穷小。(1)limxx0f(x)A0，则0,当xU(x0,)时，(2)(保号性）若limxx0of(x)0。(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式(1)lim0sin11(2)lim(1)e2、两个准则(1)*夹逼准则(2)单调有界准则3、*等价无穷小替换法常用替换：当0时（1)sin~（2）tan~（3）arcsin~（4)arctan~（5）ln(1)~（6）e1~（7）1cos~2（8）n11~12n24、分子或分母有理化法5、分解因式法6用定积分定义三、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、连续的定义*f(x)在a点连续limy0limf(x)f(a)f(a)f(a)f(a)x0xa可去型（极限存在）第一类跳跃型（左右极限存在但不相等）2、间断点的分类无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动）其他3、曲线的渐近线*(1)水平渐近线：若limf(x)A,则存在渐近线：yAx(2)铅直渐近线：若limf(x),则存在渐近线：xaxa五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念1、导数的定义*y|xaf(a)dyyf(ax)f(a)f(x)f(a)|xalimlimlimx0x0xadxxxxa2、左右导数左导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa右导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa3、导数的几何意义*y|xa曲线f(x)在点（a,f(a))处的切线斜率k4、导数的物理意义若运动方程：ss(t)则s(t)v(t)(速度）,s(t)v(t)a(t)(加速度）5、可导与连续的关系:可导连续，反之不然。二、导数的运算1、四则运算(uv)uv(uv)uvuv()uvuvuv2vdydyduu2、复合函数求导设yf[(x)]，一定条件下yuxdxdudx3、反函数求导设yf(x)和xf1(y)互为反函数，一定条件下：yx1xy4、求导基本公式*（要熟记）5、隐函数求导*方法：在F(x,y)0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出yxx(t)6、参数方程确定函数的求导*设，一定条件下yy(t)y(t)tdyytdyytxtytxtxxt（可以不记）y,yxx3dxxtdxxt(xt)7、常用的高阶导数公式（1）sin(n)xsin(x),(n0,1,2...)n（2）cosxcos(x),(n0,1,2...)2(n)n2（3）ln(1x)(1)(n)n1(n1)!,(n12...)n(1x)1n(1)nn!),(n0,1,2...)（4）(n11x(1x)（5）（莱布尼茨公式）(uv)Cnku(nk)v(k)(n)k0n三、微分的概念与运算1、微分定义*若yAxo(x)，则yf(x)可微，记dyAxAdx2、公式：dyf(x)xf(x)dx3、可微与可导的关系*两者等价4、近似计算当|x|较小时，ydy，f(x)f(xx)f(x)x第三章导数的应用一、微分中值定理*1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导（3）g(x)0,则：f()f(b)f(a)（a,b),使得：g()g(b)g(a)当取g(x)x时，定理演变成：2、拉格朗日中值定理*（a,b),使得：f()f(b)f(a)f(b)f(a)f()(ba)ba当加上条件f(a)f(b)则演变成：3、罗尔定理*（a,b),使得：f()04、泰勒中值定理在一定条件下：f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)nRn(x)n!f(n1)()(xx0)n1o(