高等数学(同济第六版)课后习题答案1.3.docx

高等数学(同济第六版)课后习题答案1.3

第一篇：高等数学(同济第六版)课后习题答案1.3习题131根据函数极限的定义证明(1)lim(3x1)8x3分析因为|(3x1)8||3x9|3|x3|所以要使|(3x1)8|只须|x3|13证明因为01当0|x3|时有3|(3x1)8|所以lim(3x1)8x3(2)lim(5x2)12x2分析因为|(5x2)12||5x10|5|x2|所以要使|(5x2)12|只须|x2|15证明因为0当0|x2|时有|(5x2)12|所以lim(5x2)12x2152(3)limx44x2x2分析因为22x4x4x4|x2||x(2)|(4)x2x22x4(4)只须|x(2)|所以要使x2证明因为0当0|x(2)|时有2x4(4)x22x44所以limx2x2314x2(4)lim12x1x分析因为314x2|12x2|2|x(1|2x12314x所以要使2只须|x(1)|12x122证明因为01当0|x(1|时有22314x22x1314x2所以limx2x122根据函数极限的定义证明31(1)lim1xx2x2分析因为311x3x311x2x322x32|x|331x1只须1即|x|1所以要使2x22|x|3证明因为0X1当|x|X时有31x1322x31所以lim1xx2x32(2)limsinx0x分析因为x|1x0|sinsinxxx所以要使sinx0只须1即x12xx证明因为0X1当xX时有2x0sinx所以limsinx0xx3当x2时yx24问等于多少使当|x2|要使|x24||x2||x2|5|x2|0001只要|x2|0.0010.00025取00002则当0|x2|时就有|x24|00012x4当x时y211问X等于多少使当|x|X时|y1|001?x32x解要使211240.01只要|x|43故X0.01x3x35证明函数f(x)|x|当x0时极限为零证明因为|f(x)0|||x|0||x||x0|所以要使|f(x)0|只须|x|因为对0使当0|x0|时有|f(x)0|||x|0|所以lim|x|0x0|x|6求f(x)x,(x)当x0时的左﹑右极限并说明它们在x0时的极xx限是否存在证明因为limf(x)limxlim11x0x0xx0limf(x)limxlim11x0x0xx0limf(x)limf(x)x0x0所以极限limf(x)存在x0因为|x|limx1x0x0xx0x|x|x1lim(x)lilix0x0xx0xlim(x)lim(x)lim(x)limx0x0所以极限lim(x)不存在x07证明若x及x时函数f(x)的极限都存在且都等于A则xlimf(x)Axx证明因为limf(x)Alimf(x)A所以>0X10使当xX1时有|f(x)A|X20使当xX2时有|f(x)A|取Xmax{X1X2}则当|x|X时有|f(x)A|即limf(x)Ax8根据极限的定义证明函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x)A(xx0)则>00使当0|f(x)A|因此当x0|f(x)A|这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00)f(x00)A则>01>0使当x012>0使当x0取min{12}则当0即f(x)A(xx0)9试给出x时函数极限的局部有界性的定理