高等数学经典方法与典型例题归纳.docx

高等数学经典方法与典型例题归纳

第一篇：高等数学经典方法与典型例题归纳2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限x41例1：求极限limx1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6=4【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限x3x2例2：求极限limx3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。11x3x21x【解】limlimx3x31x313x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；0nn1axan1xa0(2)limnmm1xbxbb0amm1xnbnmnmnmn3．分子(母)有理化求极限例3：求极限lim(x3x2x21)【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x3x2x1)lim2(x23x21)(x23x21)x3x122xlim2x3x122x0例4：求极限limx01tanx1sinx3x2【解】limx01tanx1sinxtanxsinxlimx03x3x1tanx1sinx1limlimx0tanxsinx1tanxsinx1lim33x0x024xx1tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限sinx111和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，两个重要极限是lim第一个x0xnx0xxn重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。x1x1例5：求极限limxx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1，最后凑指数部分。X2x11xx22122x12lim1lim11e【解】limx1xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。xxxxaxx5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：1x)~e1,当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1cosx~12bx,1ax1~abx；2x(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1x)x01cosxxln(1x)xx【解】limlim2.x01cosxx012x2sinxx例8：求极限limx0tan3x例7：求极限lim21sinxxsinxxcosx112x【解】limlimlimlim322x0tan3xx0x0x06x3x3x6．用洛必达法则求极限lncos2xln(1sin2x)例9：求极限lim2x0x0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x2lncos2xln(1sin2x)cos2x1sinx【解】limlim2x0x0x2x【说明】limsin2x2132x02xcos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.【解】由于x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是0xx00xlimx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dtxlimx0xf(t)dttf(t)dtxf(u)du0x=limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0x0f(t)dt0f(u)duxf(x)xf(u)duxf(x)=limx00f(t)dtxxf(x)=x0f(u)duf(0)1.f(0)f(