2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.doc

-6-第二课时正、余弦定理在三角形中的应用[选题明细表]知识点、方法题号三角形面积的计算1235平面图形中的有关计算6910三角恒等式的证明7三角形中的综合问题481112基础巩固1.在△ABC中若a=7b=3c=8则△ABC的面积等于(D)(A)12(B)(C)28(D)6解析:由余弦定理可得cosA==所以A=60°所以S△ABC=bcsinA=6.故选D.2.已知△ABC的面积为且b=2c=则(D)(A)A=30°(B)A=60°(C)A=30°或150°(D)A=60°或120°解析:因为S=bcsinA=所以×2×sinA=所以sinA=所以A=60°或120°.故选D.3.三角形的一边长为14这条边所对的角为60°另两边之比为8∶5则这个三角形的面积为(A)(A)40(B)20(C)40(D)20解析:设另两边长为8x5x则cos60°=解得x=2或x=-2(舍去)故两边长分别为16与10所以三角形的面积是×16×10×sin60°=40.故选A.4.(2019·太原高二检测)在△ABC中=a=b=c且a·b=b·c=c·a则△ABC的形状是(C)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)无法判断解析:设△ABC的三边分别为abc根据向量的数量积得-abcosC=-bccosA=-cacosB.由余弦定理得==所以a=b=c即△ABC为等边三角形.故选C.5.在△ABC中BC=2B=当△ABC的面积等于时sinC等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin=易求得AB=1由余弦定理得AC=再由三角形的面积公式S=AC·BCsinC=即可得出sinC=.故选B.6.在△ABC中已知B=D是BC边上一点AD=10AC=14DC=6则AB的长为.解析:在△ADC中因为AD=10AC=14DC=6所以cos∠ADC===-.又因为∠ADC∈(0π)所以∠ADC=所以∠ADB=.在△ABD中由正弦定理得=所以AB===5.答案:57.在△ABC中若角ABC的对边分别是abc求证:-=-.证明:左边=-=-=--+=--+=-=右边(R为△ABC外接圆半径)所以等式成立.能力提升8.已知锐角△ABC中||=4||=1△ABC的面积为则·的值为(A)(A)2(B)-2(C)4(D)-4解析:由题意S△ABC=||||sinA=得sinA=又△ABC为锐角三角形所以cosA=所以·=||||cosA=2.故选A.9.如图四边形ABCD中∠B=∠C=120°AB=4BC=CD=2则该四边形的面积等于(B)(A)(B)5(C)6(D)7解析:连接BD.由已知可得∠DBC=30°∠ABD=90°由余弦定理知BD2=22+22-2×2×2cos120°=12解得BD=2所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×4×2+×2×2×sin120°=5.故选B.10.如图在△ABC中已知点D在BC边上AD⊥ACsin∠BAC=AB=3AD=3则BD的长为.解析:sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=在△ABD中有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD所以BD2=18+9-2×3×3×=3所以BD=.答案:11.设△ABC的内角ABC所对的边分别为abc且cosB=b=2.(1)当A=30°时求a的值;(2)当△ABC的面积为3时求a+c的值.解:(1)因为cosB=所以sinB=.由正弦定理=可得=所以a=.(2)因为△ABC的面积S=ac·sinBsinB=所以ac=3ac=10.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB即4=a2+c2-ac=a2+c2-16即a2+c2=20.所以(a+c)2-2ac=20(a+c)2=40.因为a+c>0所以a+c=2.探究创新12.(2019·沈阳高二期末)在△ABC中(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求C;(2)若△ABC的外接圆半径为2试求该三角形面积的最大值.解:(1)由(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB得(a-c)(a+c)=(a-b)b所以a2-c2=ab-b2所以a2+b2-c2=ab所以cosC==.因为0°<C<180°所以C=60°.(2)因为△ABC的外接圆半径为2所以==2×2=4故a=4sinAb=4sinB所以S=absinC=×ab=4sinAsinB=4sinAsin(120°-A)=4sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=6sinAcosA+2sin2A=