2018年高考数学命题角度4.doc

-23-命题角度4.2：空间位置关系证明与线面角求解1.如图三棱柱中分别为棱的中点.（1）在平面内过点作平面交于点并写出作图步骤但不要求证明.（2）若侧面侧面求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）.试题解析：（1）如图在平面内过点作交于点连结在中作交于点连结并延长交于点则为所求作直线.（2）连结∵∴为正三角形.∵为的中点∴又∵侧面侧面且面面平面∴平面在平面内过点作交于点分别以的方向为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则.∵为的中点∴点的坐标为∴.∵∴∴设平面的法向量为由得令得所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为则即直线与平面所成角的正弦值为.点睛：考察立体几何的线面角要注意线面角一定是锐角同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性.2.如图正方形的对角线与相交于点四边形为矩形平面平面.（1）求证:平面平面；（2）若点在线段上且求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直再借助面面垂直的判定定理推证；（2）先依据题设条件建立空间直角坐标系再运用向量的数量积公式及向量的运算的坐标运算进行分析求解：试题解析：(1)证明:为正方形四边形为矩形又平面又平面平面平面.设平面的法向量为由即令得由.得直线与平面所戍角的正弦值即为.点睛：立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一也高考重点考查的考点和热点。这类问题的设置一般有两类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积面积以及角度距离的求解与计算等问题。求解第一类问题时要充分借助和运用线面位置关系的判定定理或性质定理进行分析推证；解答第二类问题时通常是先建立空间直角坐标系再运用向量的有关知识及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解。3.如图在四棱锥中平面四边形是直角梯形.（1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点是的中点若与平面所成角的正弦值为求线段的长.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则所以．设平面的法向量为由得且．取得所以是平面的一个法向量．因为平面ABC取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为所以（2）由（1）知则．设（）则所以．易知平面所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为所以即因为平面ABC取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为所以由图可知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为．（2）由（1）知则．设（）则所以．易知平面所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为所以即得或（舍）．所以所以线段的长为．4.如图在三棱柱中为的中点.（1）求证：平面；（2）当时求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系借助向量的有关知识与数量积公式分析求解：（1）证明：连结与相交于点连结.∵为中点∴又∵平面平面∴平面.如图过在平面内作垂足为．∵平面平面平面平面∴平面．以点为原点的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系得下列坐标：．设平面的一个法向量则∴解之得．∴．又∵．∴所以直线与平面所成角的正弦值为．点睛：立体几何是高中数学中的传统题型也是高考重点考查的热点与重要考点。求解本题的第一问的方法是依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问时则先依据题设条件建立空间直角坐标系借助向量的坐标形式的运算等有关知识求出法向量再借助向量的数量积公式分析求解从而使得问题获解。5.在矩形中是边的中点如图（1）将沿直线翻折到的位置使如图（2）.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）已知分别是线段上的点且平面求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)直线与平面所成角的正弦值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明平面从而可得由平面几何知识可得由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PCE进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以点为原点分别以所在直线为轴以经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系求出平面的法向量以及直线的方向向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.又因为平面所以平面.又因为平面所以平面平面.（Ⅱ）在图（2）中以点为原点分别以所在直线为轴以经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示.由题意可知取的中点连结.由（Ⅰ）可知平面平面.又因为所以.又因为平面平面所以平面.可得.又因为所以.因为可得.设可得.所以.又因为设平面的法向量为则令可得所以因为平面所以可得.所以.由（Ⅰ）