2018年高考数学命题角度4.doc

-15-命题角度4.2：空间几何体体积与距离问题1.如图是边长为的正方形平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明结合根据线面垂直的判定定理可得平面从而可得结论；（Ⅱ）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长进而根据其特性求底面三角形的面积再根据棱锥的体积公式求解即可.（Ⅱ）设连接.由（Ⅰ）知平面所以平面.因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和所以.因为正方形的边长为所以.取的中点连接则.所以等腰三角形的面积为.所以.所以三棱锥的体积为.2.如图在四棱锥中底面为直角梯形平面底面为的中点是棱上的点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的设试确定的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面且平面平面可证得平面进而平面平面；（Ⅱ）（Ⅱ）由为的中点可得．由平面平面可得平面．设梯形面积为则S△ABQ=利用即可求得.（Ⅱ）∵为的中点∴∵平面平面且平面平面∴平面．设梯形面积为则三角形的面积为．又设到平面的距离为则根据题意∴故为中点所以．3.如图所示菱形与正三角形所在平面互相垂直平面且.（1）求证：平面；（2）若求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）3.【解析】试题分析：（1）过点作于连接可证四边形为平行四边形可得根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若利用分割法将几何体分成两个棱锥结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.∴平面.又∵平面∴.∴四边形为平行四边形∴.∵平面平面∴平面.（2）连接由题意得为正三角形∴.∵平面⊥平面平面平面平面平面.∵平面平面∴平面同理由可证平面∵平面平面∴平面∥平面∴到平面的距离等于的长.∵为四棱锥的高∴.4.如图所示的几何体中四边形为菱形平面平面为的中点为平面内任一点.（1）在平面内过点是否存在直线使？如果不存在请说明理由如果存在请说明作法；（2）过三点的平面将几何体截去三棱锥求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.（2）连接则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面且交线为又所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形所以所以.又所以平面所以所以几何体的体积.5.在三棱柱中为的中点.（1）证明：平面；（2）若点在平面的射影在上且侧面的面积为求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点连接.利用中点可得所以平面.（2）取中点连接过点作于连接利用等腰三角形和射影的概念可知平面所以所以平面所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高由此可计算得三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：连接交于点连接.则为的中点又为的中点所以且平面平面则平面.（2）解：取的中点连接过点作于点连接.因为点在平面的射影在上且所以平面∴∴平面则.设在中∴由可得.则.所以三棱锥的体积为.6.如图四棱锥中平面平面底面为梯形且与均为正三角形为的重心.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）可直接运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥可换底的特征运用三棱锥的体积公式建立方程求解：解：(1)连接并延长交于连接.由梯形且知又为的重心在中故.又平面平面平面.得所以三棱锥的体积为.又.在中故点到平面的距离为.7.如图在四棱锥中平面.（1）求证：平面；（2）若为线段的中点且过三点的平面与线段交于点确定点的位置说明理由；并求三棱锥的高.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行进而通过四点共面确定点的位置再利用等体积法进行求解.因为平面为的中点所以到平面的距离.又所以.由题意可知在直角三角形中在直角三角形中所以.设三棱锥的高为解得：故三棱锥的高为.8.如图边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且.（1）求证：平面；（2）过作平面垂足为求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）因为通过证明平面可证得平面.（2）利用等体积法可求体积.试题解析：（1）证明：∵∴∴四边形为平行四边形∴∵平面平面且平面平面∴平面∴平面∵平面∴.在正方形中平面∵∴平面.（2）解：取的中点连接则连接过作于∵平面∴∴平面∴∴平面∴与重合.在中由得∴.过作垂足为易证平面交于则且.∴.9.如图