2018年高考数学命题角度5.doc

-14-命题角度5.3：直线与抛物线位置关系1．已知抛物线的对称轴为坐标轴顶点是坐标原点准线方程为直线与抛物线相交于不同的两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点求的值；（3）如果直线是否过一定点若过一定点求出该定点；若不过一定点试说明理由．【答案】（1）;（2）∴;（3）．【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件建立直线方程与抛物线方程联立方程组运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在再运用所学知识分析探求。（3）解：假设直线过定点设：与联立得设∴．由解得∴：过定点．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用。求解第一问时直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时将直线方程与抛物线方程联立借助向量的坐标形式的数量积公式求解使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点使得问题获解。2.已知抛物线的焦点为直线与轴的交点为与的交点为且.（1）当取得最小值时求的值；（2）当时若直线与抛物线相交于两点与圆相交于、两点为坐标原点试问：是否存在实数使得的长为定值？若存在求出的值；若不存在请说明理由.【答案】（1）；（2）当时的长为定值2.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立函数关系运用基本不等式求解；（2）借助直线与抛物线的位置关系运用坐标之间的关系分析探求;（2）当时则抛物线.设直线代入得设则因为所以即又则所以直线过定点故当时的长为定值2.3.已知抛物线的准线为焦点为为坐标原点.（1）求过点且与相切的圆的方程；（2）过的直线交抛物线于两点关于轴的对称点为求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）圆过可得圆与直线相切可得.由得.从而得圆的方程.试题解析：解法一：（1）抛物线的准线的方程为：焦点坐标为设所求圆的圆心半径为圆过圆与直线相切.由得.过且与直线相切的圆的方程为.（2）依题意知直线的斜率存在设直线方程为联立消去得..直线的方程为令得.直线过定点解法二：（1）同解法一.（2）直线过定点.证明：依题意知直线的斜率存在设直线方程为联立消去得..即三点共线直线过定点.解法三：（1）同解法一.（2）设直线的方程：则.由得..直线的方程为..直线过定点.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似在求定点、定值之前已知该值的结果因此求解时应设参数运用推理到最后必定参数统消定点、定值显现.4.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合点在抛物线上过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点若求实数的值.【答案】（1）2（2）【解析】试题分析：（1）先根据椭圆标准方程求焦点坐标再根据抛物线标准方程得最后求出A点坐标并根据抛物线定义求的值；（2）设则根据得联立直线方程与抛物线方程利用韦达定理得再将化成坐标关系40解方程组可得.试题解析：（1）依题意椭圆中故故故则故抛物线的方程为.将代入解得故.易得则则当解得故.5.设圆以抛物线的焦点为圆心且与抛物线有且只有一个公共点.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的两条切线与抛物线分别交于点和求经过四点的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）设过点与圆相切的斜率为正的一条切线的切点为连接则且∴则直线的方程为与联立得记直线与抛物线的两个交点为则从而的垂直平分线的方程为令得由圆与抛物线的对称性可知圆的圆心为又点到直线的距离∴圆的半径∴圆的方程为.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.圆的标准方程及其性质．【名师点睛】对于圆锥曲线的综合问题①要注意将曲线的定义性质化找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.6.如图已知抛物线：过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点且与其准线交于点．（Ⅰ）若线段的长为求直线的方程；（Ⅱ）在上是否存在点使得对任意直线直线的斜率始终成等差数列若存在求点的坐标；若不存在请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点或使得对任意直线直线的斜率始终成等差数列．【解析】试题分析：（Ⅰ）因为直线过焦点所以设直线与抛物线方程联立转化为利用焦点弦长公式解得直线方程；（Ⅱ）设用坐标表示直线的斜率若成等差数列那么代入（1）的坐标后若恒成立解得点的坐标.试题解析：（Ⅰ）焦点∵直线的斜率不为所以设由得∴∴．