2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.doc

-4-第2课时正弦定理（二）【基础练习】1．(2019年辽宁大连双基训练)在△ABC中sinA＝sinC则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】由正弦定理知sinA＝sinC⇒a＝c故△ABC为等腰三角形．2．已知△ABC的面积为4且a＝4b＝eq\f(4\r(3)3)则sinC＝()A．eq\f(\r(3)2)B．eq\f(12)C．eq\f(\r(3)4)D．eq\r(3)【答案】A【解析】由已知得4＝eq\f(12)×4×eq\f(4\r(3)3)×sinC∴sinC＝eq\f(\r(3)2).3．在△ABC中内角ABC的对边分别为abca＝3eq\r(2)b＝2eq\r(3)cosC＝eq\f(13)则△ABC的面积为()A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D．eq\r(3)【答案】C【解析】∵cosC＝eq\f(13)∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(2)3).又∵a＝3eq\r(2)b＝2eq\r(3)∴S△ABC＝eq\f(12)absinC＝eq\f(12)×3eq\r(2)×2eq\r(3)×eq\f(2\r(2)3)＝4eq\r(3).故选C．4．在△ABC中角ABC的对边分别为abc若a＝1∠B＝45°△ABC的面积S＝2则c＝______.【答案】4eq\r(2)【解析】∵a＝1∠B＝45°根据三角形的面积公式可得S＝eq\f(12)acsinB＝eq\f(12)×1×eq\f(\r(2)2)c＝2∴c＝4eq\r(2).5．在△ABC中B＝60°最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2则最大的角度数为________．【答案】75°【解析】设C为最大角则A为最小角A＋C＝120°∴eq\f(ca)＝eq\f(sinCsinA)＝eq\f(sin120°－AsinA)＝eq\f(sin120°cosA－cos120°sinAsinA)＝eq\f(\r(3)2)·eq\f(cosAsinA)＋eq\f(12)＝eq\f(\r(3)2)＋eq\f(12).∴eq\f(cosAsinA)＝1.∴tanA＝1.∴A＝45°C＝75°.6．已知△ABC中角ABC的对边分别为abc且asinC＝eq\r(3)ccosA．(1)求角A；(2)若b＝2△ABC的面积为eq\r(3)求a.【解析】(1)由asinC＝eq\r(3)ccosA及正弦定理得sinAsinC＝eq\r(3)sinCcosA．∵sinC>0∴上式可化为tanA＝eq\r(3)∴A＝eq\f(π3).(2)由S△ABC＝eq\r(3)得eq\f(12)bcsinA＝eq\r(3)将b＝2A＝eq\f(π3)代入解得c＝2.∴△ABC为正三角形∴a＝2.7．在△ABC中若sinA＝2sinBcosC且sin2A＝sin2B＋sin2C试判断三角形的形状．【解析】∵ABC是三角形的内角∴A＝π－(B＋C)．∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC．∴sinBcosC－cosBsinC＝0∴sin(B－C)＝0.又0＜B＜π0＜C＜π∴－π＜B－C＜π∴B＝C．又sin2A＝sin2B＋sin2C∴a2＝b2＋c2∴A是直角．∴△ABC是等腰直角三角形．8．△ABC中abc分别为角ABC所对边的长acosB＝1bsinA＝eq\r(2)A－B＝eq\f(π4).(1)求a的值；(2)求tanA的值．【解析】(1)由正弦定理知bsinA＝asinB＝eq\r(2)又acosB＝1∴(asinB)2＋(acosB)2＝3.∵sin2B＋cos2B＝1∴a＝eq\r(3)(舍去负值)．(2)eq\f(sinBcosB)＝eq\r(2)即tanB＝eq\r(2)∵A－B＝eq\f(π4)∴A＝B＋eq\f(π4).∴tanA＝taneq\b\lc\(\rc\)(\