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-4-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质【基础练习】1.在(1+x)6(1+y)4的展开式中记xmyn项的系数为f(mn)则f(30)+f(21)+f(12)+f(03)=()A.45B.60C.120D.210【答案】C2.(2018年宁波模拟)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6=63则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-3【答案】D3.设m为正整数(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b则m=()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】(x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为Ceq\o\al(m2m)即a=Ceq\o\al(m2m).同理b=Ceq\o\al(m2m+1)∴13Ceq\o\al(m2m)=7Ceq\o\al(m2m+1)即eq\f(13·2m!m!m!)=eq\f(7·2m+1!m!m+1!)∴eq\f(72m+1m+1)=13解得m=6.4.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11则a0+a1+a2+…+a11等于()A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】令x=-1得[(-1)2+1]×[2×(-1)+1]9=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11∴a0+a1+a2+…+a11=-2.故选A.5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中含x2项的系数是________.(结果用数值表示)【答案】84【解析】展开式中含x2项的系数是C22+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C93=84.6.如图是一个类似杨辉三角的递推式则第n行的首尾两个数均为________.【答案】2n-17.(1-x)5(3+2x)9=a0(x+1)14+a1(x+1)13+…+a13(x+1)+a14求:(1)a0+a1+…+a14的值;(2)a1+a3+…+a13的值.【解析】(1)令x=0得a0+a1+…+a14=39.(2)设A=a0+a2+…+a14B=a1+a3+…+a13则有A+B=39.令x=-2有A-B=-35联立方程组解得a1+a3+…+a13=eq\f(39+352).8.在(3x-2y)20的展开式中求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项.【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项T11=Ceq\o\al(1020)·310·(-2)10·x10y10=Ceq\o\al(1020)·610·x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r20)·320-r·2r≥C\o\al(r+120)·319-r·2r+1C\o\al(r20)·320-r·2r≥C\o\al(r-120)·321-r·2r-1.))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3r+1≥220-r221-r≥3r.))解得7eq\f(25)≤r≤8eq\f(25).所以r=8即T9=Ceq\o\al(820)·312·28·x12y8是系数绝对值最大的项.(3)由于第9项系数绝对值最大且为正所以第9项系数最大.T9=Ceq\o\al(820)·312·28·x12y8.【能力提升】9.(2019年广东深圳模拟)已知(1+eq\f(ax))(2x-eq\f(1x))5的展开式中各项系数的和为2则该展开式中常数项为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】令x=1可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2解得a=1则(1+eq\f(ax))(2x-eq\f(1x))5=(2x-eq\f(1x))5+eq\f(1x)(2x-eq\f(1x))5.其中(2x-eq\f(1x))5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-eq\f(1x))r=(-1)r25-rC5rx5-2r其中不含常数项令r=2得T3=80x所以该展开式中常数项为80.故选D.10.若(x+1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0则(a5+a3+a1)2-(a4+a2+a0)
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