2021高考数学大一轮复习高考大题专项练一高考中的函数与导数理新人教A版.docx

10高考大题专项练一高考中的函数与导数高考大题专项练1.(2019北京理19)已知函数f(x)=14x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-24]时求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R)记F(x)在区间[-24]上的最大值为M(a).当M(a)最小时求a的值.(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f'(x)=34x2-2x+1.令f'(x)=1即34x2-2x+1=1得x=0或x=83.又f(0)=0f83=827所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-827=x-83即y=x与y=x-6427.(2)证明令g(x)=f(x)-xx∈[-24].由g(x)=14x3-x2得g'(x)=34x2-2x.令g'(x)=0得x=0或x=83.g'(x)g(x)的情况如下:x-2(-20)0083838344g'(x)+-+g(x)-6↗0↘-6427↗0所以g(x)的最小值为-6最大值为0.故-6≤g(x)≤0即x-6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知当a<-3时M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时M(a)=3.综上当M(a)最小时a=-3.2.(2019宁夏石嘴山三中高三四模)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=2时F(x)=f(x)-x+lnx记函数y=F(x)在区间141内的最大值为m证明:-4<m<-3.(1)解因为f(x)=(x-a)ex所以f'(x)=(x-a+1)ex.当x∈(-∞a-1)时f'(x)<0;当x∈(a-1+∞)时f'(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(-∞a-1)单调递增区间为(a-1+∞).(2)证明当a=2时F(x)=(x-2)ex-x+lnx则F'(x)=(x-1)ex-1+1x=(x-1)ex-1x.当14<x<1时x-1<0.令g(x)=ex-1x则g'(x)=ex+1x2>0所以g(x)在区间141内单调递增.因为g12=e12-2<0g(1)=e-1>0所以存在x0∈121使得g(x0)=0即ex0=1x0即lnx0=-x0.故当x∈14x0时g(x)<0此时F'(x)>0;当x∈(x01)时g(x)>0此时F'(x)<0.故F(x)在区间14x0内单调递增在区间(x01)内单调递减.故m=F(x)max=F(x0)=(x0-2)ex0-x0+lnx0=(x0-2)·1x0-x0-x0=1-2x0-2x0.令G(x)=1-2x-2xx∈121则G'(x)=2x2-2=2(1-x2)x2>0.所以G(x)在区间121内单调递增所以G(x)>G12=-4G(x)<G(1)=-3.故-4<m<-3.3.设函数f(x)=αcos2x+(α-1)(cosx+1)其中α>0记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.(1)解f'(x)=-2αsin2x-(α-1)sinx.(2)解(分类讨论)当α≥1时|f(x)|=|αcos2x+(α-1)(cosx+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cosx-1.(构造函数)令g(t)=2αt2+(α-1)t-1则A是|g(t)|在区间[-11]上的最大值g(-1)=αg(1)=3α-2且当t=1-α4α时g(t)取得极小值极小值为g1-α4α=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α.令-1<1-α4α<1解得α<-13(舍去)α>15.(ⅰ)当0<α≤15时g(t)在区间(-11)内无极值点|g(-1)|=α|g(1)|=2-3α|g(-1)|<|g(1)|所以A=2-3α.(ⅱ)当15<α<1时由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0知g(-1)>g(1)>g1-α4α.又g1-α4α-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0所以A=g1-α4α=α2+6α+18α.综上A=2-3α0<α≤15α2+6α+18α15<α<13α-2α≥1.(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin2x-(α-1)sinx|≤2α+|α-1|.当0<α≤15时|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当15<α<1时A=α8+18α+34≥1所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.4.已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明f(x)存在唯一