高二数学抛物线及其标准方程.docx

高二数学抛物线及其标准方程二.教学目标：1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.三.教学重、难点：1.重点：抛物线的定义和标准方程.(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义;通过一些例题加深对标准方程的认识).2.难点：抛物线的标准方程的推导.(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系.)四、教学过程(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线--抛物线，以及它的定义和标准方程.课题是"抛物线及其标准方程".请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识?在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中，抛物线是二次函数的图象?问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征?在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形.引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.(二)抛物线的定义1.回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当01时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线?2.简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线.反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结.3.定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上).定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0).下面，我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢?让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板.)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30).设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}.化简后得：y=2pxp(p>0).方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31).设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}.化简得：y=2px+p(p>0).方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板.)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32).抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得：y=2px(p>0).比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢?引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍.由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y;当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x.同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号;当焦点在负半轴上时，取负号.(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程.方程是x=8y.练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0);答案是：(1)y=12x;(2)y=x;(3)焦点到准线的距离是2.(3)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y.由三名学生演板，教师予以订正.这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程.