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数学分析2019-2020期中考试卷及答案2014~2015学年第一学期考试日期2014年11月19日（考试时间：120分钟）科目：数学分析I（期中卷）专业本、专科年级班姓名学号题号一二三四五六七总分得分我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。签名：________________得得分一.判断题(对的打√,错的打×,2'1020')1.(×)设a为有理数，x为无理数，则ax一定是无理数.2.(×)设数列{a},{b}满足：对任何自然数n,有ab,且lima和limb都nnnnnnnn存在，则limalimb.nnnn3.(√)单调数列a如果含有一个收敛的子列,则a本身一定也收敛.nn4.(×)设a是无穷小数列,｛b｝是无穷大数列,则｛ab｝是无穷大数列.nnnn5.(×)任何数列都存在收敛的子列.6.(×)设{a},{b}均为无界数列,则ab一定为无界数列.nnnn7.(√)设函数f(x)在某U0(x)内有定义,且f(x)在x点的左右极限都存在00且相等,则f(x)在x极限存在.08.(×)设limf(x),limg(x)b,则limf(x)g(x).xxxxxx0009.(√)如果对任何以x为极限的递减数列{x}U0(x),都有limf(x)A,0n0nn则有limf(x)A.xx010.(×)若0,0,总可找到x',x''U0(x,),使得|f(x')f(x'')|,000则limf(x)不存在.xx0得得分二．叙述题（2'48'）1.叙述极限limf(x)存在的柯西准则.x0答:设函数f(x)在U0(0,)内有定义.limf(x)存在的充要条件是：x00,0,(2分)使得对x,x'U0(0,)有f(x)f(x').(2分)2.叙述集合S上确界的分析定义.设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切xS有x，即是数集S的上界；(2分)（2）对任何存在xS使得（即是S的最小上界）(2分)0则称数为数集S的上确界.得得分三．计算题（本大题满分24',每小题4'）1114x21.求lim2.求limn1223n(n1)x0x1114x2x1解:lim()解:limlimn1223n(n1)x0xx0x(4x2)411111=lim(1)n223n(n1)1=lim(1)=1nn1sin2x1x213.求lim4.limx0ln(1x)x01cosxx2()2sin2x2x1x21解:limlim2解：lim2x0ln(1x)x0xxxx02sin2(1x21)sin2(1x21)221x2ax5.设lim8,求数a的值.xxa3axxaxxax2a3a3a解:limlim1e3a8aln2xxaxxax216.求a,b,使得lim(axb)0.x1xx21解:alim1,（2分）xx(1x)x21x21x2xblim(x)lim()1．(2分)x1xx1x得得分四．用分析定义证明（本大题满分15',每小题5'）1.证明：limna1,其中(a1).na1证明:设na1h,a(1h)n1nhh,(2分)na1a1对0,N[],当nN时,|na1|.(3分)n所以limna1,n2.证明：lim(x22x3)2x1证明：x22x32x12（2分）．故对0，，当0x1时，x22x32．（3分）3.证明：limcosxcos2.x2证明:对0,,当0|x2|时,(2分)x2x2|cosxcos2|2|sinsin||x2|,所以limcosxcos2.(3分)22x2得得分五.证明题（本大题满分18',每小题6'）11.证明极限limsin不存在.x0x1111证明:对(2分),0,设正数n,令x',x'',(2分)022n2n211则有x',x''U0(0;),|sinsin|1,(2分)x'x''01所以极限limsin不存在.x0x2.设S{x|x为(0,1)上的有理数},求S的上下确界,并用定义验证.解:supS1,infS0.(2分)1下面验证supS1,对