极限思想在解题中的应用.pdf

Email:[e-mail]个人简介：岳儒芳毕业于河北师范大学中学一级教师教育硕士极限思想在解题中的应用河北省石家庄市第十九中学岳儒芳数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足．于是将对无限的研究就转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想．在数学教学过程中，虽然开始学习的数学都是有限的数学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究．在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的，以上数集都是无限集．对图形的研究，知道直线和平面都是可以无限延展的．在解析几何中，还学习过抛物线的渐进线，已经开始有极限的思想体现在其中．学习了数列的极限和函数的极限之后，使中学阶段对无限的研究又上了一个新台阶，集中体现了有限和无限的数学思想．使用极限的思想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决．实际上先进行有限次分割，然后再求和，求极限，我们认为，这是典型的有限与无限数学思想的应用．函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用．导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具．通过学习和考查，可以体验研究和处理不同对象所用的不同数学概念和相关理论以及变量数学的力量．例1．函数的值域是（）ylog2xlogx(2x)（A）(,1]（B）[3,)（C）[1,3]（D）(,1][3,)【分析】选D．法1:用极限的思想．∵函数定义域为{x|x0且x1}．当x时，y，∴可排除B，C；1当x时，y1，∴可排除A．故选D．21法2:函数变形为ylogx1，设则，再作出“对勾”函数的图象，数形结合即可2tlog2x,t0log2x求出．例2．过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是11p和q，则等于（）pq14（A）4a（B）（C）2a（D）2aa【分析】选A．-1-Email:[e-mail]个人简介：岳儒芳毕业于河北师范大学中学一级教师教育硕士1（法1）取a2（不可取a1,否则，A，D两项的值均等于4），得焦点F(0,)，过F再作特殊位置8111的直线PQ∥x轴，易知pq,842，故选A．（选择图形的某一个特殊位置，可得到相关的数4pq或式的特殊关系，而特殊位置图形的选择往往又与选取适当的特殊值和特殊点有关．）（法2）用极限的思想即：画出图形，使PQ绕点F旋转，使点P与点O重合即可求出．x2y2例3．设A、A是椭圆1的长轴的两个端点，P、P是垂直于AA的弦的端点，则直线AP与1294121211AP交点的轨迹方程为（）22x2y2y2x2x2y2y2x2（A）1（B）1（C）1（D）194949494【分析】选C．2（法1）设p(3cos,2sin),P(3osc,2nis)，由椭圆得A(3,0),A(3,0)，直线AP为，111ytanx2tan2123223(cottan)2tan直线为2，交点中，223，APycotx2cot∴Mx,y22tan2tan22322coscottancos22222xyxy∴()2()2sec2tan21,即1．选C．3294(法2)利用极限的思想即当PP恰是短轴的两个端点时，则两直线无交点，即说明当x0时，所求的12曲线方程无解．结合选项可判断选C．例4．直三棱柱的体积为，、分别为侧棱上的点，且，则四棱锥ABCA1B1C1VPQAA,CCAPCQBAPQC的体积是（）A1C11111（A）V（B）V（C）V（D）V2345BP1【分析】选B．Q（法1）用极限的思想，即令点与点重合，点与重合，则四棱锥PA1QCAC就变成三棱锥，再根据等体积法即可求出．BAPQCBAPQVBAPQVPABCB（法2）可分