高等代数与解析几何第七章(1-3习题)-线性变换与相似矩阵答案.doc

第七章线性变换与相似矩阵习题7、1习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换？(1)设就是线性空间中得一个固定向量,(Ⅰ),,解:当时,显然就是得线性变换;当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),;解:当时,显然就是得线性变换;当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中,(Ⅰ),解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ);解:就是得线性变换。设,其中,,则有,。(3)在中,(Ⅰ),解:就是得线性变换:设,则,,。(Ⅱ),其中就是中得固定数;解:就是得线性变换:设,则,,。(4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数;解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。(5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。解:就是得线性变换。对,,有,。习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换),,;并说明就是否成立。证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;,,;,,,即,故。因为,,所以。因为,,所以。因为,,所以。习题7、1、3在中,,,证明。证明:在中任取一多项式,有。所以。习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明。证明:用数学归纳法证明。当时,有命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且。证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。(2)因,都就是上得可逆线性变换,则有,同理有由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。证明:设,依次用可得,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。有定义知,,,线性无关。习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。证明:已知就是可逆线性变换,即存在。若,则两端用作用即得,因此就是单射线性变换。若任取,则存在,使得,即就是满射线性变换。已知既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即双射。现定义新得变换:,定有,且有,规定,有,同时有,即有。由定义知就是可逆线性变换。习题7、1、8设就是上得线性变换,证明(1)就是单射线性变换得充要条件为;(2)就是单射线性变换得充要条件为把线性无关得向量组变为线性无关得向量组。证明:(1)已知就是单射线性变换,对,则有,由单射得,即。已知,若,则有,得,即得,故就是单射。(2)已知就是单射线性变换。设线性无关,现证也线性无关。令,整理有,而就是单射,有,已知线性无关,所以,故也线性无关。已知把线性无关得向量组变为线性无关得向量组。若,则有,并一定有。否则若,则说明向量线性无关,而表示把线性无关得向量组变为线性相关得向量组,与条件矛盾。而由可得,即就是单射线性变换。习题7、1、9设就是中全体可逆线性变换所成得子集,证明关于线性变换得乘法构成一个群。(超范围略)习题7、1、10设,就是上得线性变换,且证明(1)若,则;(2)若,则。证明:(1)因为,。所以,从而或。又因为。故。(2)因为,,所以。习题7、1、11设与分别就是数域上得维与维线性空间,就是得一个有序基,对于中任意个向量,证明存在唯一得线性映射,使,。证明:先证明存在性。对任意得,有唯一得线性表达式我们定义显然有,。现验证为到得一个线性映射。(1)对任意得向量,因为,由定义得。(2)对任意得,因为,由定义得。所以为到得一个线性映射。再证唯一性:若另有到得一个线性映射,也使得,。则对任意向量,一定有。由在中得任意性,可得。习题7、1、12设与分别就是数域上得维与维线性空间,就是线性映射。证明就是得子空间,就是得子空间。又若有限,证明。这时称为得零度,称为得秩。证明:(1)先证与分别为与得子空间,对,,有,所以,故为得子空间;同理,对,,则,使,,所以所以为得子空间、(2)再证因有限,不妨设,,在中取一个基,再把它扩充为得一个基,则就是像空间得一个基、事实上,对,存在,使得。设,则有即中得任意向量都可由线性表示。现证向量组线性无关:设,有,即,所以向量可由向量组线性表示,进而有,整理有,又因线性无关,所以必有,因此线性无关,即为得一个基,故。习题7、1、13证明关于定义7、1、12中所定义得线性映射得加法与数量乘法构成上得一个线性空间。证明:现证明定义7、1、12中所定义得线性映射得加法与数量乘法都就是从到得线性映射。事实上,对,,有故为到得线性映射。同理,对,,有