对数的换底公式及其推论(含答案).pdf

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果a>0，a1，M>0，N>0有：log(MN)logMlogN(1)aMaaloglogMlogN(2)aNaalogMnnlogM(nR)(3)aa二、新授内容：1.对数换底公式：logNlogNm(a>0,a1，m>0,m1,N>0)alogam证明：设logN=x,则ax=Na两边取以m为底的对数：logaxlogNxlogalogNmmmmlogNlogN从而得：xm∴logNmlogaalogamm2.两个常用的推论:①logbloga1，logblogcloga1ababcn②logbnlogb（a,b>0且均不为1）ammalgblga证：①logbloga1ablgalgblgbnnlgbn②logbnlogbamlgammlgama三、讲解范例：例1已知log3=a，log7=b,用a,b表示log5623421解：因为log3=a，则log2,又∵log7=b,2a33log56log73log2ab3∴log5633342log42log7log21abb133351log3例2计算：①0.2②log3log2log4324912555解：①原式=15log31150.2log5533115153②原式=log3log2log2222342442例3设x,y,z(0,)且3x4y6z1111求证；2比较3x,4y,6z的大小x2yz证明1：设3x4y6zk∵x,y,z(0,)∴k1lgklgklgk取对数得：x，y，zlg3lg4lg611lg3lg42lg3lg42lg32lg2lg61∴x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkz64lgklg34lg64lg818123x4y()lgklgk0lg3lg4lg3lg4lg3lg4∴3x4y9lgklg46lg36lg6416又：4y6z()lgklgk0lg4lg6lg2lg6lg2lg6∴4y6z∴3x4y6z例4已知logx=logc+b，求xaa分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logc移到等式左端，a或者将b变为对数形式解法一：logcblogcbb由对数定义可知：xaaaaaca解法二：x由已知移项可得logxlogcb，即logbaaacx由对数定义知：abxcabc解法三：blogablogxlogclogablogcabxcabaaaaa四、课堂练习：①已知log9=a,18b=5,用a,b表示log45183618解：∵log9=a∴log1log2a∴log2=1a181821818∵18b=5∴log5=b18log45log9log5ab∴log4518181836log361log22a1818②若log3=p,log5=q,求lg5831解：∵log3=p∴log3＝plog33plog2823233plog5log53pq又∵log5q∴lg5333log10log2log513pq333三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：logx1．证明：a1logblogxaab证法1：设logxp，logxq，logbraaba则：xapx(ab)qaqbqbar∴ap(ab)qaq(1r)从而pq(1r)plogx∵q0∴1r即：a1logb（获证）qlogxaablogxlogab证法2：由换底公式左边＝axlogab1logb＝右边logxlogaaaabx2．已知logblogblogba1a2an12n求证：log(bbb)aaa12n12nlgblgblgb证明：由换底公式12n由等比定理得：lgalgalga12nlgblgblgblg(bbb)12n∴12nlgalgalgalg(aaa)12n12nlg(bbb)∴log(bbb)12naaa12n12nlg(aaa)12n