2023考研高等数学全考点精讲-第十讲 常微分方程.pdf

第十讲常微分方程【考试要求】1.了解微分方程及其阶、解、通解、初识条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程.3.会用降阶法解下列形式的微分方程.4.理解线性微分方程解的性质及解的结构.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.8.会解欧拉方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程（数一）.9.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念（数三）.考点：一阶微分方程求解1.变量可分离形如gydyfxdx的方程称为变量可分离的微分方程.解法:gydyfxdx两端直接积分.2.齐次方程dyy形如的方程称为齐次方程.dxxy解法:令u换元,齐次方程可化成可分离变量的微分方程.x1/73.一阶线性微分方程dy形如PxyQx的方程称为一阶线性微分方程,dx当Qx0时,称为齐次微分方程;当Qx0时,称为非齐次微分方程.PxdxPxdx解法:套公式yeQxedxC.例1微分方程xyy0满足y11的解是y____.例2求微分方程yx2y2dxxdy0满足y1（0x0）的解.例3（2011数一）微分方程yyexcosx满足y00的解为____.例4微分方程ydxx3y2dy0满足y11的解为y___.2/7xx例5设fx连续,且fxtdtxtftdtex1,求fx.00例6设Fxfxgx,其中fx,gx在,内满足条件:fxgx,gxfx,且f00,fxgx2ex.求（1）Fx所满足的一阶微分方程;（2）Fx的表达式.答案:Fxe2xe2x.3/7考点：二阶可降阶微分方程1.yfx,y型解法:令yp,则yp,带入原方程化为一阶方程.2.yfy,y型dp解法:令yp,则yp,带入原方程化为一阶方程.dy例1微分方程xy3y0的通解为____.1例2微分方程yyy20满足y01,y0的特解是____.24/7考点：二阶常系数线性微分方程1.线性微分方程解的性质及结构定理1:设y和y是yPxyQxy0的两个不成比例（无关）的解,12则YCyCy是该齐次方程的通解,C,C是任意常数.112212定理2:设y是yPxyQxyfx的特解,Y是对应齐次方程的通解,则yYy是该非齐次方程的通解.定理3:设y,y都是yPxyQxyfx的解,12则yy是对应齐次方程的解.12例1（2013数一二）已知ye3xxe2x,yexxe2x,yxe2x是某二阶常系数123非齐次微分方程的3个特解,则该方程满足y00,y01的特解为____.2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解形如ypyqy0的方程称为二阶齐次线性微分方程.解法:写出特征方程r2prq0rxrx（1）特征方程有两不等实根rr通解yCe1Ce2；1212rx（2）特征方程有两相等实根rr通解yCCxe1；1212（3）特征方程有两一对虚根ri1,2通解yexCcosxCsinx.12例2微分方程y2y5y0的通解为____.5/7例3设yyx是微分方程yy2y0的解,且在x0处yx取极值3,则yx____.y4y4y0例4设yyx满足,求反常积分yxdx.y02,y0403.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形如ypyqyfx的方程称为二阶非齐次线性微分方程.（1）fxexPx特解yexRxxk,mm0,不是特征方程的根其中Rx是m次一般多项式,k1,是特征方程的单根.m2,是特征方程的重根（2）fxexPxcosxQxsinxmn特解yexR1xxcosxR2xsinxxk,lmaxm,n,ll0,i不是特