向量组的线性相关性PPT精选文档.ppt

§4.3向量组的线性相关性向量组及其线性组合定义：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．本书中，列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT表示．定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．当R(A)<n时，齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A的线性表示．n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量．回顾：线性方程组的表达式结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B能由向量组A线性表示，即设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B能由向量组A线性表示，即对于b1，存在一组实数k11,k21,…,km1，使得b1=k11a1+k21a2+…+km1am；对于b2，存在一组实数k12,k22,…,km2，使得b2=k12a1+k22a2+…+km2am；……对于bl，存在一组实数k1l,k2l,…,kml，使得bl=k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×lBl×n，即若Cm×n=Am×lBl×n，即口诀：左行右列向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示存在矩阵K，使得AK=B矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)（P.84定理2）R(B)≤R(A)（P.85定理3）例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式．行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3．n阶单位矩阵的列向量叫做n维单位坐标向量．设有n×m矩阵A=(a1,a2,…,am)，试证：n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A)=n．小结知识结构图回顾：向量组的线性组合引言向量b能由向量组A线性表示问题2：如果零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的系数是否不全为零？问题2′：齐次线性方程组Ax=0是否存在非零解？回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零．向量组的线性相关性备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当a是零向量时，线性相关；当a不是零向量时，线性无关．向量组A：a1,a2,…,am(m≥2)线性相关，也就是向量组A中，至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3线性相关的几何意义是三个向量共面．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．m元齐次线性方程组Ax=0只有零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．例：试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性．例：已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例：已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法1：转化