数值分析常用的插值方法.doc

数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn处的值是f（x0），……f（xn），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插值和样条插值。一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。说明：函数可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值。2.解决方法：构造一个n次代数多项式函数来替代未知（或复杂）函数，则用作为函数值的近似值。设，构造即是确定n+1个多项式的系数。3.构造的依据：当多项式函数也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数逼近于原来的函数。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：其系数矩阵的行列式D为范德萌行列式：故当n+1个点的横坐标各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D不等于零，故方程组有唯一解。即有以下结论。结论：当已知的n+1个点的横坐标各不相同时，则总能够构造唯一的n次多项式函数，使也过这n+1个点。4.几何意义5．举例：已知函数，求。分析：本题理解为，已知“复杂”函数，当x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值。解：（1）线性插值：过已知的（100,10）和（121,11）两个点，构造1次多项式函数，于是有则。（2）抛物插值：构造2次多项式函数，使得它过已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式：则有10.722755505364206.拉格朗日n次插值多项式公式：其中称为基函数（k=0,1,….,n），每一个基函数都是关于x的n次多项式，其表达式为：拉格朗日公式特点：1．把每一点的纵坐标单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数；3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是，而分母是7.误差分析（拉格朗日余项定理），其中在所界定的范围内。针对以上例题的线性插值，有函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有：于是近似值有三位有效数字。针对以上例题的抛物线插值，有函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有于是近似值10.72275550536420有四位有效数字。8.拉格朗日插值公式的优点公式有较强的规律性，容易编写程序利用计算机进行数值计算。9.拉格朗日插值通用程序程序流程图如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值closealln=input('已知的坐标点数n=?');x=input('x1,x2,...,xn=?');y=input('y1,y2,...,yn=?');xx=input('插值点=？');symst%定义t为符号量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp=inline(p);%把符号算式p变为函数形式fplot(p,[min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1]);%画多项式函数holdonp(xx)%显示插值点plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%画已知点和插值点在MATLAB命令窗口输入：lagrange然后有以下对话过程和结果，已知的坐标点数n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3