排列组合与概念(课堂PPT).ppt

(理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理/会用两个原理分析和解决一些简单的计数应用问题)1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有两类不同方案，在第一方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事情，完成它需要两个步骤，做第一步有种m不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()A．238个B.232个C．174个D．168个解析：可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3·43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3＝18(个)，故有重复数字的四位数共有192－18＝174(个)．答案：C2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33B．34C．35D．36解析：答案：A3．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有的不同上法的总数为f(n)，则下列猜想中正确的是()A．f(n)＝nB．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)C．f(n)＝f(n－1)·(n－2)D．f(n)＝解析：n＝1,2时，显然f(n)＝n，n≥3时，f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)．答案：D4．如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)答案：72此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．【例1】由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．解答：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64个3位数．(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)排出的三位数分别是432、431、421、321共4个.分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于“多步”完成，还是“一步”完成，分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立，每一步各取一种方法即可完成一件事；而分类计数原理要求每一类中的每一种方法都可完成这件事，其要求是不重不漏，从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程．【例2】若A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{b1，b2，b3}．试问从A到B可建立多少种不同的映射？解答：解法一：可分步计算第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法；第二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法；第三步：a3与B中唯一的元素对应有3种方法；第四步：a4与B中唯一的元素对应有3种方法．由分步计数原理，可建立从A到B的映射共有34＝81(个)．解法二：可分类计算第一类：“四对一”的情况共3种；第二类：“三对一，一对一”的情况共＝24(种)；第三类：“二对一、二对一”的情况共＝18(种)；第四类：“二对一，一对一，一对一”的情况共＝36(种)．由分类计数原理从A到B的映射共有81个．变式2.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点：(1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么．(2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么．(3)用两个计数原理解决的主要问题包括：①排数；②计算有限集合A到B的映射的个数；③涂色问题等．【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解答：解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．