f分布t分布和卡方分布.doc

§1、4常用得分布及其分位数1、卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=得分布称为自由度等于n得分布，记作Z～(n)，它得分布密度p(z)=式中得=，称为Gamma函数，且=1，=。分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。证明:先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，即可得到Y+Z～(n+m)。2、t分布若X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～(n)，则Z=得分布称为自由度等于n得t分布，记作Z～t(n)，它得分布密度P(z)=。请注意：t分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。3、F分布若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)，则Z=得分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m得F分布，记作Z～F(n,m)，它得分布密度p(z)=请注意：F分布也就是非对称分布，它得分布密度与自由度得次序有关，当Z～F(n,m)时，～F(m,n)。4、t分布与F分布得关系若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。证：X～t(n)，X得分布密度p(x)=。Y=X得分布函数F(y)=P{Y<y}=P{X<y}。当y0时，F(y)=0，p(y)=0；当y>0时，F(y)=P{-<X<}==2，Y=X得分布密度p(y)=，与第一自由度等于1、第二自由度等于n得F分布得分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出。但就是，解应用问题时，通常就是查分位数表。有关分位数得概念如下：4、常用分布得分位数1）分位数得定义分位数或临界值与随机变量得分布函数有关，根据应用得需要，有三种不同得称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们得定义如下：当随机变量X得分布函数为F(x)，实数α满足0<α<1时，α分位数就是使P{X<xα}=F(xα)=α得数xα，上侧α分位数就是使P{X>λ}=1-F(λ)=α得数λ，双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x1-α；F(λ1)=0、5α，1-F(λ2)=0、5α，所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x0、5α，双侧α分位数λ2就就是1-0、5α分位数x1-0、5α。2）标准正态分布得α分位数记作uα，0、5α分位数记作u0、5α，1-0、5α分位数记作u1-0、5α。当X～N(0,1)时，P{X<uα}=F0,1(uα)=α，P{X<u0、5α}=F0,1(u0、5α)=0、5α，P{X<u1-0、5α}=F0,1(u1-0、5α)=1-0、5α。根据标准正态分布密度曲线得对称性，当α=0、5时，uα=0；当α<0、5时，uα<0。uα=-u1-α。如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。论述如下：当X～N(0,1)时，P{X<uα}=F0,1(uα)=α，P{X<u1-α}=F0,1(u1-α)=1-α，P{X>u1-α}=1-F0,1(u1-α)=α，故根据标准正态分布密度曲线得对称性，uα=-u1-α。例如，u0、10=-u0、90=-1、282，u0、05=-u0、95=-1、645，u0、01=-u0、99=-2、326，u0、025=-u0、975=-1、960，u0、005=-u0、995=-2、576。又因为P{|X|<u1-0、5α}=1-α，所以标准正态分布得双侧α分位数分别就是u1-0、5α与-u1-0、5α。标准正态分布常用得上侧α分位数有：α=0、10，u0、90=1、282；α=0、05，u0、95=1、645；α=0、01，u0、99=2、326；α=0、025，u0、975=1、960；α=0、005，u0、995=2、576。3）卡平方分布得α分位数记作α(n)。α(n)>0，当X～(n)时，P{X<α(n)}=α。例如，0、005(4)=0、21，0、025(4)=0、48，0、05(4)=0、71，0、95(4)=9、49，0、975(4)=11、1，0、995(4)=14、9。4）t分布得α分位数记作tα(n)。当X～t(n