巧添辅助线-妙解几何题.docx

万方数据45。这一已知条件，并及时联想到LACM+LBCN=450；最后，为将长为菇，m，n的三条线段集中，可考虑将AACM沿CM翻折，使点A与点P重合(如图1)，这样可将长为m和戈的两条线段集中在一个角中。再连接PⅣ，若能证明PN=BN，则长为z，m，n的三条线段就集中到了APMN中．解：‘．‘[ACM+[BCN=450，￡PCM+[PCN=45。，LACM=LPCM，．‘．￡BCN=[PCⅣ，可证△BCⅣ鉴△_PCN，PN=BN=n，．‘．[MPC=LA=450．[NPC=LB=450．7．厶MPN=厶MPC+LNPC=900．．·．以z，m，n为边长的三角形的形状是直角三角形，故答案为B．【小结】当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造．二、旋转构造例2已知D是等边三角形ABC内的一点，LAOB，LBOC和／___AOC的度数之比为6：5：4，在以OA，OB，OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数分别是多少?【分析】首先，解决此题的关键依然是要将OA，OB和OC三条线段集中到同一个三角形中；其次，考虑到等边三角形的特点，若将AAOB绕A点逆时针旋转600(如图2)，此时，AB与AC重合，点0与点M重合，可得到AAMC，因为AAOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA，OB和OC就集中到了ACOM中．故求OA，OB，OC三边所对的角即为求ACOM的三个内角．名人隽这万方数据【小结】旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合、旋转角度能构成特殊角等两个条件．三、轴对称构造例3／AOB=45。，角内有点P，PO=IO，在两边OA，OB上有点Q，R(均不与点0重合)，则APQR的周长的最小值是多少?MA【分析】首先，要确定GPQR的周长的最小值，关键是确定Q，R的位置，而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值；其次，已知条件中／AOB=45。，如果分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，根据轴对称性质则有／MON=90。，可u构造出直角三角形(如图3)．解：分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接MN，与OA，OB交于点Q’，R’，由轴对称性质可知尸9’=MQ7，同理PR’=NR’．因为线段MN的长度等于MQ’+p’R’+舰’，即MN的长度正图3好等于APQ’R’的周长．由两点之间线段最短这一定理，易得出Aeq7R’是点尸与LAOB两边上的q，R两点构成的三角形中周长最小的三角形．所以问题中的Q，R与Q7，R7重合时APQR的周长值最小，而其值正等于线段MN的长度．连接OM，ON，由轴对称性质可知，OM=OP=ON=10，且／MON=90。，．·．MN=10厄，．·．APQR的周长的最小值是10厄．【小结】一般来说，求几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称点，将折线段转化为直线段．四、特殊构造例4在四边形ABCD中，／ABC=30。，／_ADC=60。,AD=CD．求证：BD2=AB2+日C2．【分析】首先，由所求证的关系为平方形式，联想到勾股定理，进而思考如何构造直角三角形求证．如图4，已知／_ABC=30。，以BC为边向外作等边三角形BCE，则可得到／ABE=90。，DBC=BE，可将AB2+BC2转化为直角三角形ABE中的AB2+BEe．这C样只需证明AE=BD即可．其次，由zADC=60。，AD=CD，连接AC，则AADC为等边三角形．易证ADCB一：AACE，于是AE=BD．解：略．【小结】当题设的条件中出现特殊角时，利用其再构造特殊图4图形如等边三角形、直角三角形、正方形等，这也是几何证明中常用的辅助线作法．名人隽语分享别人的记忆是一种愉快。记忆中的一切都亲切、可爱、动人和珍贵。至少过去是安．．一。全的——尽管那时我们意识不到这一点，现在我们意识到了。因为它属于过去，因为我们挣扎过来了。——苏珊·桑塔格(美国文学家)万方数据HYPERLINK"http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xycz-c201311013.aspx"\h巧添辅助线,妙解几何题作者：HYPERLINK"http://s.g.wanfangdata.com.cn/Paper.aspx?q=Creator%3a%22%e9%99%88%e6%b8%85%e7%8e%89%22%2BDBID%3aWF_QK"\h陈清玉作者单位：刊名：HYPERLINK"http://c.g.wanfangdata.com.cn/periodical-xycz-c.aspx"\h学苑创造C英文刊名：HYPERLINK"http://c.g.wanfangdata.com.cn/