阅读与思考函数概念的发展历程.docx

一元二次不等式的概念及其解法（1课时）内容来源：高一下期必修5第三章第二节主题：一元二次不等式的解法授课对象：高一年级学生设计者：目标确定的依据一、课程标准相关要求通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;会解一元二次不等式。二、教材分析经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.三、学情分析学生在初中已经学习了二次函数，并会解一元二次方程。本节课利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，但对于二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系理解起来还是有一定难度。学习目标1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.评价任务1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.教学过程学习环节学习活动设计意图引入新课必修5（76页）教科书中展示的实例，得出一个不等式用不等式解决生活中的一些问题探索新知解不等式：x2-5x≤0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.1、什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式。师：在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？生：当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：由对应值表与图象（如上图）可知：当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.这就是说，若抛物线y=x2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.故一元二次不等式x2-5x≤0的解集是{x|0≤x≤5}。旧知同新自主探究含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.（2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2=,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x≠}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.Δ=b2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象[来源:Zxxk.Com]ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c＞0的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠}Rax2+bx+c＜0的解集{x|x1＜x＜x2}对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.[来源:Z§xx§k.Com]结合上面的特例，研究一元二次不等式的一般形式的解法拓展延伸例1解不等式2x2-5