逆矩阵的概念.doc

2.4.1逆矩阵的概念
学习目标：
1、通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在；
2、会证明逆矩阵的唯一性和等简单性质，并了解其在变换中的意义；
3、会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵；
4、会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。
活动过程：
活动一：逆矩阵的意义
背景：二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点变换到点。反过来，如果已知变换后的结果，能不能“找到回家的路（逆变换）”，让它变回原来的呢？

问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同？
（1）以x为反射轴的反射变换；
（2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；
（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；
（4）沿y轴方向，向x轴作投影变换；
（5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x，y）（x＋2y，y）作切变变换。

思考：通过上述问题可以得到一个什么结论？

结论：1、逆变换的含义：

2、逆矩阵的定义：

注：通常记可逆矩阵的逆矩阵为。
活动二：逆矩阵的简单性质
例1证明：若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是惟一的。

思考：对于任意的二阶矩阵M满足什么条件时，它是可逆的？

例2证明：若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且。并从几何变换的角度给予解释。

活动三：逆矩阵的求解
例3：从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由。
（1）A=；（2）B＝；（3）C＝；（4）D＝

例4：求矩阵A＝的逆矩阵

变式训练：求二阶矩阵A＝的逆矩阵

例5：已知A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵。

例6证明：已知A、B、C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C。

思考：如果二阶矩阵A存在逆矩阵，且BA=CA，那么B=C一定成立吗？

活动四：课堂小结与自主检测
1、从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由。
（1）；（2）；（3）
（4）；（5）；（6）

2、已知，试求出。

3、求出矩阵AB的逆矩阵：
（1），；
（2），.

4、已知可逆矩阵的可逆矩阵，求，。