第一讲 数系的扩充1.ppt

初等代数研究一、数系的扩展顺序、方法、原则
（1）自然数的产生起源于人类在生产和生活中记数的需要（三个阶段：结绳记数；出现”三头牛，五只羊”；把数从具体事物的集合分离出来，形成抽象的正整数概念，并有了代表它的符号）在干绳最远的一行一个结代表1，次远的一个结代表10，如此等等.秘鲁的印第安人的结绳法《易.系辞》载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书目契。”（2）由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测、水利工程等方面的需要，正分数运应而生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷中已有关于正分数问题的记述。引进正分数是数的概念的第一次扩充。（3）人们开始记数时，最初没有“零”的概念，在生产实践需要记数的东西越来越多，逐渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上利用空格表示“零”。引入“0”是数的概念的第二次扩展。（二）数系的扩展方法和原则（2）构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的同构。二、自然数理论与数学归纳法伽利略的困惑2、自然数的序数理论公理I说明1是自然数，
公理III说明1是最前面的自然数，
公理IV说明N中任何数都有唯一的后继元，且不同数的后继数也不同。自然数集是一个无限集，也是人们在数学上遇到的最简单、最直接的无限集。从1开始采用求后继的办法，可以求出任何一个自然数，而且求每一个自然数的过程是有限的，把自然数集的这种无限性叫做“潜无限”。应用数学归纳法证明有关自然数的命题时应注意：
1、第一步是奠基部分，归纳法原理的两步缺一不可，否则将导致矛盾；
2、在证明推导第二步时，一定要用归纳假设的结论作为第二步推理的基础。
3、数学归纳法是建立在“潜无限”的观念基础上，推导过程看似一个有限的过程，但是在逻辑上保证命题对“一切自然数”都正确。用“有限”体现“无限”的过程。
正确理解“潜无限”最小数原理最小数原理是第二数学归纳法的逻辑基础和理论依据。“瑞雪兆丰年”与数学归纳法数学归纳法(探讨求索型问题)解题思维过程：

尝试——观察——归纳、猜想——证明

即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。
三、平静地接受一些无理数万物皆数
学派誓词：
谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，
长流不息的自然的根源包含于其中.毕达哥拉斯4、中国古代以数字来表达哲学观点：

老子在《道德经》有云：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。

数学表示为：0，1，2，3，……
5、《周易.系辞上》有云：“河出图，洛出书，圣人则之”——“河图”、“洛书”。公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子苏帕萨斯发现了一个惊人的事实：（2）毕达哥拉斯学派的徽章这一发现与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学理论极不和谐，引起了该学派领导极度惶恐和恼怒，认为它动摇了他们在学术上的统治，是致命的打击。
苏帕萨斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后被抛入大海，葬身鱼腹，为科学献身。然而，真理是淹没不了的，人们为纪念这位“科学的星座”，就把不可通约的量改名为“无理数”。（二）无理数的定义问题：0.9999…和1是否相等？2、所谓的“证明”3、极限求和法定义2（康托的基本序列说）有理数的基本序列的等价类称为实数.
基本思想：把无限小数看作是一个有限小数序列的极限。定义3（戴德金分割说）有理数的戴德金分割称为实数,有端点分割称为有理数,无端点分割称为无理数。（三）一些无理数的证明实数的鬼魂——虚数12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负根的存在。16世纪，卡尔达诺的《大衍术》第一次大胆使用了负数平方根的概念。使用负数平方根，就有可能解决四次方程的求解问题。虽然他写出了负数的平方根，但他却犹豫不次，他不得不声明，这个表达式是虚构的，想像的，并且称它为”虚数”。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。虚数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，1637年笛卡儿称为“想像中的数”，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。1797年，威赛尔给出了虚线的图像表示才确立了虚数的合理地位。他和阿尔干一起借助于17世纪法国数学家笛卡儿建立的平面坐标系，给复数做出了几何解释。二、复数表示和运算二、复数的运算应用举例（二）解析几何中复数表示（三）复数单位根及其应用（四）复数方法的应用解法一：例5、已知A为定圆O外的定点，P为这个圆上的任一点，以AP为边作正三角形APZ（APZ按顺时针方向），求Z点的轨迹。练习题