第8讲 罗氏几何(下) §4 罗氏平面上的三种圆曲线 摔碎的砝码还能用吗？ 孙子定理 抽.doc

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第8讲

罗氏几何(下)

§4罗氏平面上的三种圆曲线

1.三种线束和三种圆曲线

定义在一平面上的下列三种直线的集均称为线束：
（1）过同一点的一切直线的集（称为有心线束，称为其中心）；

（2）垂直于同一直线的一切直线的集（称为分散线束．称为其底线）；

（3）直线及平行于此直线于方向的一切直线的集（称为平行线束．射线称为该平行线束的方向射线）．

定义共面二直线、上的各一点、，若使截此二直线所成的同侧二内角合同，则线段称为、的等倾割线，、称为、的对应点．

定理一直线上的一点在共面的另一直线（不过）上必有一对应点B．当、不相交时，的对应点唯一．

定义线束中一直线上的已知点（当线束有中心时，不取此中心）及在线束的每一异于的直线上的对应点的集称为一个圆曲线（当线束有中心时，对的对称点亦命其属此集）．线束的每一直线均叫此圆曲线的轴．点叫此圆曲线的起点．

定理有心线束上的点（不是中心）及其对应点以及关于的对称点组成的圆曲线是一圆，以为圆心，以为半径．

定义分散线束上的点及其对应点组成的圆曲线称为等距线或超圆.

定理在分散线束的一直线上给定一点，则以为起点的圆曲线上的各点到底线的距离相等．

定义平行线束上的点及其所有对应点组成的圆曲线称为极限圆或拟圆．其中射线为此平行线束之方向射线.

定理平行线束（方向射线为）上的点及其对应点组成的圆曲线是当沿射线无限远离时的极限位置．设直线于点射线,则圆曲线是以为底线、为起点的等距线当沿射线无限远离时的极限位置.

定理在一平面上，三角形的三边的中垂线属于同一线束．

2.圆曲线的性质

定理圆曲线有下列性质（圆、等距线、极限圆的共性）：
（1）它上面的每一点均可作起点；

（2）它的每一轴都是这曲线的对称轴；

（3）它和任何直线的交点不多于两个（圆曲线退化为直线的情形除外．即除去圆曲线是等距线且其起点在底线上的情况．此时圆曲线即底线上的点的集）；

（4）经过它的一点且垂直于过此点的轴的直线和它没有第二个公共点（圆曲线退化为直线的情况除外）．

极限圆的一个特有性质所有的极限圆都合同．
注圆与等距线不具有此性质.

摔碎的砝码还能用吗？

1624年，法国数学家德·梅齐里亚克(Meziriac，1581——1638)提出并解决了下面的砝码问题.
一位商人有一个磅的砝码，不慎跌落在地摔成四块.称得每块都是整磅数，且可以用它来称磅到磅的任何整磅数的重物，问这四块砝码碎块各重多少?
天平的砝码盘只能放一些砝码，而称重盘上可以重物砝码混放.例如，可以用磅与磅的两块砝码称出磅的重物.为此只需把磅砝码放在砝码盘上，把重物与磅砝码放在称重盘上，如果天平平衡，则知重物是磅.

一般地，我们有

命题设有个砝码,,…,，从中恰当地选取一些砝码放入两个盘上，可以称出,,,…,磅的重物.今再取一新砝码磅，则用,,…,,可以称出,,,…,磅的重物.

例如,我们有个砝码磅,磅,显然可以用它们称出磅,磅和磅的重物.再取一新砝码磅,则用,,可以称出从磅,磅,磅,…,磅的重物.具体称法如下.

重量(磅)砝码组合

上述命题的证明（自学）若重物的重量磅，则用,,…,去称即可；若，先把放在砝码盘上，把重物放在称重盘上(重物比较轻)，这时,重物已抵消了砝码上的一部分重量,砝码还剩磅重,.把这部分视为磅的重物，可通过,,…,的适当摆放而使天平平衡；若，则把放入砝码盘之后(重物比较重)，砝码抵消了重物上的一部分重量磅，重物还剩磅重，，可以通过适当摆放,,…,而被抵消，从而使天平平衡.
现在回到磅的砝码摔成四块的问题.因为磅的砝码可以称出磅的重物，由上述命题，取磅的砝码，则用磅和磅两个砝码可称出磅,磅,磅,磅的重物.

重量(磅)砝码组合
仍上述命题，再取磅的砝码，则用,,可以称出磅,磅,磅,……,磅的重物；

重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合
再用上述命题，取磅，则用,,,可以称出磅,磅,磅,…,磅的重物.

重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合
综上，若这四块砝码碎块分别重磅，磅，磅和磅，则可以用它们称出——磅的重物.

中国剩余定理（孙子定理）

《孙子算经》成书于公元三世纪前后，原始作者已不可考.魏晋时期的著名数学家刘徽曾为《孙子算经》作注.书中有两则“妇孺皆知而乐道之”的名题，一题称为“物不知其数”，一题则是“韩信乱点兵”.
通过对“物不知其数”的解决,人们总结出了在世界数学史上影响深远的“中国剩余定理”或称“孙子定理”，该定理比内容相同的高斯定理早问世1500年左右.