第5讲 二次函数根的分布.doc

一元二次方程根的分布情况
设方程的两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）

分布情况两根都小于即
两根都大于即
一个根小于，一个大于即
大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）
分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）时，；（2）时，

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；
方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或
[例题分析]
例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。

例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。

例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。

例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。

练习：
1.若方程在内恰有一解，则的取值范围是（）
A.B.C.D.

2.方程的两根都大于2，则的取值范围是（）
A.B.C.D.

3.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围。

4．为何值时，关于的方程的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；
（5）两根在之间。

5.若二次函数的图象与两端点为,的线段有两个不同的交点，求的取值范围。