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第5讲 二次函数根的分布.doc

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一元二次方程根的分布情况
设方程的两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0大致图象()得出的结论大致图象()得出的结论综合结论(不讨论)表二:(两根与的大小比较)

分布情况两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象()得出的结论大致图象()得出的结论综合结论(不讨论)表三:(根在区间上的分布)
分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种)一根在内,另一根在内,大致图象()得出的结论或大致图象()得出的结论或综合结论(不讨论)根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)需满足的条件是


(1)时,;(2)时,

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:
若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值代入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或
[例题分析]
例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。



例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。



例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。





例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。








练习:
1.若方程在内恰有一解,则的取值范围是()
A.B.C.D.



2.方程的两根都大于2,则的取值范围是()
A.B.C.D.






3.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围;
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围。









4.为何值时,关于的方程的两根:
(1)为正数根;(2)为异号根且负根绝对值大于正根;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小于2;
(5)两根在之间。













5.若二次函数的图象与两端点为,的线段有两个不同的交点,求的取值范围。
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