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本章优化总结 知识体系网络专题探究精讲(2)集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁UA)这三种常见的运算,它是本章核心内容之一.在进行集合的交集、并集、补集运算时,往往由于运算复杂或考虑不全面而极易出错,此时,可选用数轴分析法(或Venn图)将复杂问题直观化. 设全集U=R,集合A={x|-1<x<4},B={y|y=x+1,x∈A},求∁UB,A∩B,A∪(∁UB).【思路点拨】先把B化简为具体形式. 【解】∵-1<x<4,∴0<x+1<5, 即B={y|0<y<5}, ∴∁UB={y|y≤0或y≥5}. A∩B=(0,4). A∪(∁UB)=(-∞,4)∪[5,+∞). 【名师点拨】要注意端点值是否适合题意,以免增解或漏解.补集思想为研究问题开辟了新的思路,在顺向思维受阻或比较繁琐时,改用逆向思维,即采用“正难则反”的方法.补集思想是转化思想的又一种体现. 已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0},B={x|x>0},若A∩B≠∅,求实数a的取值范围. 【思路点拨】先求A∩B=∅时的a的范围,利用补集,可得A∩B≠∅的a的范围.【名师点拨】由A∩B≠∅可知集合A≠∅,所以A中的方程有实根,且有①两(相等或不等)正根;②一正根一负根;③一正根一零根,三种情形,逐一求解,再求并集,显然比较繁杂;根据“正难则反”的解题策略,这三种情形的反面是两根都是非正根,即x1≤0且x2≤0.全集则是A为非空集合时,a的取值范围,这可根据Δ≥0求得,然后再用补集的思想求解.1.直接法 求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论,直接写出其最值. 函数y=x2-2x+2在[-2,3]上的最大值,最小值为() A.10,5B.10,1 C.5,1D.以上都不对【解析】y=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∵x∈[-2,3], ∴当x=1时,ymin=1;当x=-2时,ymax=10. 【答案】B 【名师点拨】本题解法实际上利用了二次函数图象.【思路点拨】利用0≤x2≤1的范围求1-x2的范围.【答案】0 【名师点拨】在公共定义域内,增+增=增.【名师点拨】换元的目的就是转化为常见的函数求最值.专题四(1)求实数m和n的值; (2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并加以证明.当x1<x2≤-1时,x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)在(-∞,-1]上为增函数; 当-1<x1<x2<0时, x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴函数f(x)在(-1,0)上为减函数.【名师点拨】证明f(x)的单调性,关键是x=-1把定义域(-∞,0)分开为两个单调区间.抽象函数指的是没有给出具体解析式的函数,常以函数方程的形式出现,求解这类问题通常让变量取一些特殊值或特殊式,以便寻求解题方法. 已知函数f(x)的定义域{x|x≠0},对定义域内任意的x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1); (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)判断f(x)在定义域内的奇偶性.本部分内容讲解结束

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